Алтын қатынас

Уикипедияден

Алтын қатынас (шамамен 1.6180339887) табиғатта жиі кездеседі. a және b екі саны (a+b)/a = a/b өрнегін қанағаттандырса, онда олар алтын қатынасты сақтайтын болады, бұл жағдайда a/b алтын қатынасына тең болады. Бұл шама тікелей Фибоначи сандарына байланысты. Бұл құрылымды Леонардо да Винчи өз өнерінде пайдаланған. Бұл құрылым табиғатта кеңінен кездеседі: гүлдер спиралынан адам денесінің симметриясына дейін.

Әдетте бұл пропорцияны юнанның φ (сонымен бірге $τ$ деп те) әрпімен белгіленіп мынаған тең болады:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484\dots$

[өңдеу] Математикалық қасиеттері

Бесжұлдыздағы алтын қатынас

$\varphi\;$ — иррационал алгебралық сан, келесі теңдеулерінің кез келгенінің оң шешуі болсын

$\varphi^2 = \varphi + 1,\ \varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}, \ \varphi ^ 3 = \frac{\varphi + 1}{\varphi - 1}.$

$\varphi$ дегенді шынжырлы жарнақпен көрсетеді

$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\,\cdots}}},$

мұндағы сәйкес бөлшектер қатар келе жатқан Фибоначчи сандары қатынасы болып табылады $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ . Осылайша, $\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Дұрыс бесжұлдызда әр сегмент оны қиятан басқа сегменттермен алтын қатынаста бөлінеді (яғни көк кесіндінің жасылға қатынасы, және қызылдың көкке, жасылдың күлгінге қатынасы $\varphi$ тең).

Және бір өрнектелуі:

Сурет:Zs p02.gif

Алтын қатынас тұрғызу

$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}.$