Алтын қатынас

Алтын қатынас (шамамен 1.6180339887)

Алтын қима.

«Алтын қима» — гармониялық бөлу, шеткі және орта қатынаста бөлу – берілген АВ кесіндісін оның үлкен бөлігі (АС) сол кесінді (АВ) мен оның кіші бөлігінің (СВ) пропорционал ортасы болатындай етіп екі бөлікке бөлу. Ал АВ =а кесіндісінің Алтын қимасын алгебралық жолмен табу a:x = x (a-x) теңдеуін (мұндағы х=АС) шешуге келіп тіреледі. Бұдан х=(√5-1)а/2≈0,62 а болады. х-тың а-ға қатынасын шамамен 2/3, 3/5,5/8, 8/13, 13/21,... т.б. бөлшектер арқылы өрнектеуге болады, мұндағы 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., – Фибоначчи сандары. Алтын қима ертедегі грек ғалымдарына белгілі болған. Евклидтің «Негіздерінің» 2-кітабында алтын қиманы геометриялық салу жолы x(a+x) = a2 квадрат теңдеуін шешумен пара-пар екендігі көрсетілген. Евклидтен кейін алтын қиманы Гипсикл (біздің заманымыздан бұрынғы 2 ғасыр), Папп Александрийский (біздің заманымыздан бұрынғы 3 ғасыр), т.б. зерттеген. Алтын қима немесе оған жақын пропорционал қатынастар көптеген әлемдік өнер туындыларының композициялық құрылымына негіз болған. Сондықтан алтын қима 15 – 16 ғасырларда өнерде, әсіресе сәулет өнерінде, т.б. кеңінен қолданыла бастады. Алтын қима терминін 15 ғасырдың аяғында Леонардо да Винчи енгізген. Табиғатта жиі кездеседі. a және b екі саны (a+b)/a = a/b өрнегін қанағаттандырса, онда олар алтын қатынасты сақтайтын болады, бұл жағдайда a/b алтын қатынасына тең болады. Бұл шама тікелей Фибоначи сандарына байланысты. Бұл құрылымды Леонардо да Винчи өз өнерінде пайдаланған. Бұл құрылым табиғатта кеңінен кездеседі: гүлдер спиралынан адам денесінің симметриясына дейін.

Әдетте бұл пропорцияны юнанның φ (сонымен бірге $\tau$ деп те) әрпімен белгіленіп мынаған тең болады:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484\dots$

Қосымша мәліметтер

• [1] — Алтын қима

Математикалық қасиеттері

Бесжұлдыздағы алтын қатынас

$\varphi\;$ — иррационал алгебралық сан, келесі теңдеулерінің кез келгенінің оң шешуі болсын

$\varphi^2 = \varphi + 1,\ \varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}, \ \varphi ^ 3 = \frac{\varphi + 1}{\varphi - 1}.$

$\varphi$ дегенді шынжырлы жарнақпен көрсетеді

$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\,\cdots}}},$

мұндағы сәйкес бөлшектер қатар келе жатқан Фибоначчи сандары қатынасы болып табылады $\frac{F_{n+1}}{F_n}$. Осылайша, $\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$.

Дұрыс бесжұлдызда әр сегмент оны қиятан басқа сегменттермен алтын қатынаста бөлінеді (яғни көк кесіндінің жасылға қатынасы, және қызылдың көкке, жасылдың күлгінге қатынасы $\varphi$ тең).

Және бір өрнектелуі:

Сурет:Zs p02.gif

Алтын қатынас тұрғызу

$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}.$

Сілтемелер

• А. Д. Бердукидзе, Золотое сечение Квант №8, 1973.
• В. Лаврус, Золотое сечение
• О.Н. Калюжный, О Золотой Пропорции и ее квадрате
• Золотое сечение, как корень квадратного уравнения
• А.В.Радзюкевич Красивая сказка о золотом сечени
• А.В.Радзюкевич Знал ли Леонардо да Винчи "код да Винчи"?
• А.И. Щетников Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике.