Аналитикалық функциялар теориясының шекаралық есептері

Аналитикалық функциялар теориясының шекаралық есептері - қандайда болмасын бір аймақта аналитикалық болатын функцияны оның нақты және жорымал бөлімдерінің шекаралық мәндері арасындағы берілген арақатысы арқылы анықтау туралы есеп. Мұндай есепті бірінші рет 1857 жылы Б. Риман қойған болатын. Д. Гильберт шекаралық есептерді зерттей келе есепті төмендегі түрде қойды (Риман-Гильберт есебі): контуры L болатын бірбайланысты S аймағында аналитикалық, ал үзіліссіз болатын Ф(z)=u+iv функциясын Re(a+bi)Ф=au-bu=c, (1) шекаралық шарты орындалатындай етіп анықтау керек. (1) шартында a, b, с- L контурында анықталған нақты үзіліссіз функциялар. (1) есебіне мағынасы жағынан жақын келетін есепті А. Пуанкаре қойған болатын. Ол есеп мына түрде қойылады: S облысында гармоникалық и(х,у) функциясын осы облыстың L шекарасында A(s) ∂u/∂n + B(s) ∂u/∂s + C(s)u = f(s) (2) шарты орындалатындай етіп анықтау керек. (2) шартындағы A(s), B(s), C(s), f(s) L контурында анықталған нақты функциялар, s - доғалық абсцисса, п L-ге тұрғызылған нормаль.