Бернулли сандары

Бернулли сандары — дәрежелері бірдей натурал сандардың түріндегі қосындысын есептеу кезінде швейцариялық ғалым Я.Бернулли тапқан (1713) В₀, В₁, В₂, ... рационал сандар тізбегі (мұндағы — биномдық коэффициенттер, n=0, 1,..., m=1, 2, ...). В₁-ден басқа тақ нөмірлі Бернулли сандары нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбасы ауысып отырады (мысалы, алғашқы Бернулли сандарының мәндері мынадай: В₀=1, В₁=–1/2, В₂=1/6, В₃=0, В₄=–1/30, В₅=0, В₆=1/42, В₇=0, В₈=–1/30, В₉=0). Бернулли сандарын есептеуге мүмкіндік беретін рекурренттік қатынастың түрі: В₀=1, n2. Бернулли сандары математикалық анализде, сандар теориясында, жуық есептеулерде кеңінен қолданылады. Бұл сандар алғашқы рет келесі қосындыны есептеу барысында пайда болды:

$\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k {k+1\choose s} B_s N^{k+1-s}.$

Рекурренттік формуласы

Бернулли сандарын есептеу үшін келесі рекурренттік формула бар:

$\displaystyle{B_0=1\; ,}$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n {n+1\choose k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.$

Қасиеттері

• Тақ нөмірлі Бернулли сандары, ${\textstyle{B_1}}$-ден басқасы, нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбалары алма кезек ауысып тұрады.
• Бернулли сандары Бернулли көпмүшеліктерінің ${\textstyle{B_n(x)}}$ коэффициенттеріне ${\textstyle{x=0}}$ болғанда тең болады:

$\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}$

• Бернулли сандары Элементар функцияларды көрсеткішті қатарларға жіктегендегі коэффициенттерде кездеседі. Мысалы:
  • Бернулли сандары үшін қатарлар өндіруші функциясы:

    $\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$,

  • $x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$,
  • $\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$.
• Эйлер Бернулли сандары мен Риман дзета-функциясы ζ(s) арасындағы байланысты s = 2k үшін тапқан:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.$

Осыдан:

$\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\;$ барлық n үшін.

• $\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.$