Бернулли сандары

Бернулли сандары — дәрежелері бірдей натурал сандардың түріндегі қосындысын есептеу кезінде швейцариялық ғалым Я.Бернулли тапқан (1713) В₀, В₁, В₂, ... рационал сандар тізбегі (мұндағы — биномдық коэффициенттер, n=0, 1,..., m=1, 2, ...). В₁-ден басқа тақ нөмірлі Бернулли сандары нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбасы ауысып отырады (мысалы, алғашқы Бернулли сандарының мәндері мынадай: В₀=1, В₁=–1/2, В₂=1/6, В₃=0, В₄=–1/30, В₅=0, В₆=1/42, В₇=0, В₈=–1/30, В₉=0). Бернулли сандарын есептеуге мүмкіндік беретін рекурренттік қатынастың түрі: В₀=1, n2. Бернулли сандары математикалық анализде, сандар теориясында, жуық есептеулерде кеңінен қолданылады. Бұл сандар алғашқы рет келесі қосындыны есептеу барысында пайда болды:

$\sum _{n=1}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{k+1 \choose s}B_{s}N^{k+1-s}.$

Рекурренттік формуласы

Бернулли сандарын есептеу үшін келесі рекурренттік формула бар:

$\displaystyle {B_{0}=1\;,}$

$B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k+1}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .$

Қасиеттері

• Тақ нөмірлі Бернулли сандары, ${\textstyle {B_{1}}}$-ден басқасы, нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбалары алма кезек ауысып тұрады.
• Бернулли сандары Бернулли көпмүшеліктерінің ${\textstyle {B_{n}(x)}}$ коэффициенттеріне ${\textstyle {x=0}}$ болғанда тең болады:

$\displaystyle {B_{n}=B_{n}(0)\;.}$

• Бернулли сандары Элементар функцияларды көрсеткішті қатарларға жіктегендегі коэффициенттерде кездеседі. Мысалы:
  • Бернулли сандары үшін қатарлар өндіруші функциясы:

    ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi$,

  • $x\;\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi$,
  • $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2$.
• Эйлер Бернулли сандары мен Риман дзета-функциясы ζ(s) арасындағы байланысты s = 2k үшін тапқан:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.$

Осыдан:

$\displaystyle {B_{n}=-n\zeta (1-n)}\;\;$ барлық n үшін.

• $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$