Беттер Теориясы

Беттер Теориясы — дифференциалдық геометрияның беттің қасиетін зерттейтін саласы. Классикалық беттер теориясында беттің қозғалыс кезінде өзгермейтін қасиеттері қарастырылады. Оның негізгі есептерінің бірі — беттегі өлшеулер. Беттегі өлшеулердің көмегімен алынған фактілер жиынтығы беттің ішкі геометриясын құрайды. Сызықтың ұзындығы, екі бағыттың арасындағы бұрыш, облыстың ауданы, сондай-ақ, геодезиялық сызық, геодезиялық сызықтың қисықтығы, т.б. ұғымдар беттің ішкі геометриясының ұғымдарына жатады.

Ішкі геометрия беттегі сызық доғасы дифференциалының квадратын (ds²) өрнектейтін: ds²=Edu²+2Fdud+Gd² беттің бірінші квадраттық формасы арқылы анықталады. Өйткені, егер E=E(u,), F=F(u,), G=G(u,) функциялары белгілі болса, онда u = u(t),  = (t) сызықтарының ішкі теңдеулерін біле және ds-ті интегралдай отырып, осы сызықтың (ds) ұзындығын анықтауға болады. Беттегі нүктенің жақын аймағының кеңістіктегі құрылуы беттің екінші квадраттық формасы: 2h = Ldu² + 2Mdud+Nd2 арқылы зерттеледі. Екі форманың да коэффициенттері u мен -ның регулярлы функциялары болып есептеледі. Беттің кеңістікте орналасуы бас, орта және толық (не гаусстық) қисықтық деп аталатын түсініктермен зерттеледі. Толық қисықтыққа сәйкес келетін беттің нүктелері эллипстік, гиперболалық және параболалық болып бөлінеді. Соңғы кезде беттің классикалық теориясымен қатар, беттегі нүктенің жақын аймағын ғана емес, бетті тұтас қарастыратын теория да дамып келеді. Бұл теорияда регулярлы беттер де, ұшы не қыры бар беттер де зерттеледі.