Йенсен теңсіздігі

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Йенсен теңсіздігі дөңес функция графигінің қиюшысы графиктен жоғары жатады деген ақиқаттың жалпыламасы болып табылады.


Йе́нсен теңсіздігідөңес функция анықтамаларымен тығыз байланыстағы Иоган Йенсен енгізген теңсіздік.

Шекті жағдайдағы тұжырымдамасы[өңдеу]

Функция f\left(x\right) белгілі бір \mathcal X аралықта дөңес болсын және \ q_1,q_2,\ldots,q_n сандары үшін \ q_1,q_2,\ldots,q_n>0 және \ q_{1}+q_2+\ldots+q_n=1 болсын. Онда \ x_1,x_2,\ldots,x_n сандарының \mathcal X аралығында кез келген мәндері үшін мына теңдік орындалады:

 f(q_1x_1+q_2x_2+\ldots+q_nx_n)\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+q_nf(x_n)

немесе

f \left( \sum_{i=1}^{n} q_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} q_i f (x_i).

Ескерту:

  • Егер \ f(x) функциясы ойыс(жоғарға дөңес), онда теңсіздік белгісі керісінше болады.
  • Иоган Йенсен өзі ең жеке жағдайдан, дәлірек айтқанда
f \left( \frac {x_1+x_2}{2} \right) \le \frac {f(x_1)+f(x_2)} {2}, бұл мына жағдайға сәйкес келеді q_1=q_2=\frac {1}{2}.

Дәлелдеу[өңдеу]

Математикалық индукция тәсілімен дәлелдейік.

  • \ n=2 жағдайында неңсіздік дөңес функция анықтамасынан шығады.
  • Жорамал: теңсіздік қандай да бір натурал сан \ n үшін орындалсын, сонда ол \ n+1 үшін де орындалатынын дәлелдейік, яғни
 f(q_1x_1+q_2x_2+\ldots+q_nx_n+q_{n+1}x_{n+1})\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+q_nf(x_n)+q_{n+1}f(x_{n+1}).

Осы мақсатпен сол жақтағы соңғы екі қосылғышты \ q_nx_n+q_{n+1}x_{n+1} бір қосылғышпен алмастырайық

 (q_n+q_{n+1}) \left( \frac {q_n}{q_n+q_{n+1}} x_n+ \frac {q_{n+1}}{q_n+q_{n+1}} x_{n+1} \right);

бұл \ n жағдайындағы теңсіздікті пайдалануға мүмкіндік береді, яғни жоғарыдағы қосынды мына қосындыдан аспайды

 q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+(q_n+q_{n+1}) f\left( \frac {q_n}{q_n+q_{n+1}} x_n+ \frac {q_{n+1}}{q_n+q_{n+1}} x_{n+1} \right).

Функция мәніне соңғы қосылғышқа \ n=2 үшін теңсіздікті пайдалану ғана қалды. Осылайша математикалық индукция тәсілі бойынша Йенсен теңсіздігі толықтай дәлелденді.

Жеке түрлері немесе салдары[өңдеу]

Гёльдер теңсіздігі[өңдеу]

  • \ f(x)=x^k болсын, мұндағы \ x>0, \ k>1 (дөңес функция). Онда
\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right)^k \le \sum _{i=1}^{n} {q_ix_i^k},      \ q_1,\ldots,q_n>0 және \ q_1+\ldots+q_n=1

\ q_i=\frac{p_i}{p_1+\ldots+p_n} деп белгілейңк, мұндағы \ p_1,\ldots,p_n - кез келген оң сандар, онда тогда теңсіздік былай жазыла алады

\left(\sum_{i=1}^{n} {p_ix_i}\right)^k \le \left(\sum _{i=1}^{n} {p_i}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n} {p_ix_i^k}.

Мұнда \ p_i мынаған \ b_i^{\frac {k}{k-1}} ал \ x_i мынаған \frac {a_i}{b_i^{\frac{1}{k-1}}} алмастырсақ, белгілі Гёльдер теңсіздігін шығарамыз:

\sum_{i=1}^{n} {a_ib_i} \le \left(\sum _{i=1}^{n} {a_i}^k\right)^\frac{1}{k}\left(\sum _{i=1}^{n} {b_i}^{\frac {k}{k-1}}\right)^\frac{k-1}{k}.

Коши теңсіздігі[өңдеу]

  • \ f(x)=\ln x (ойыс функция) болсын. Онда
\sum _{i=1}^{n} {q_i\ln x_i}\le \ln\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right) , немесе \ln\prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \ln\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} , онда \prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} .

Жеке түрі q_i=\frac{1}{n} болғанда Коши теңсіздігі шығады (геометриялық орташа арифметикалық орташадан аспайды)

\sqrt[n]{x_1 \ldots x_n}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}

Гармоникалық орташа мен геометриялық орташа арасындағы теңсіздік[өңдеу]

  • \ f(x)=x\ln x (дөңес функция) болсын. Онда
\left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \ln \left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i \ln x_i} . q_i=\frac{\frac{1}{x_i}}{\sum_{i=1}^{n} {\frac{1}{x_i}}} қойсақ, табатынымыз
\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} (Гармоникалық орташа геометриялық орташадан аспайды)

Гармоникалық орташа мен арифметикалық орташа арасындағы теңсіздік[өңдеу]

  • \ f(x)=\frac{1}{x} (дөңес функция) болсын. Онда \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}} \le \sum_{i=1}^{n} {\frac{q_i}{x_i}}

Жеке түрі q_i=\frac{1}{n} болғанда шығатыны гармоникалық орташа арифметикалық орташадан аспайтыны:

\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}

Гиббс теңсіздігі[өңдеу]

Рао — Блекуэлл — Колмогоров теоремасы[өңдеу]

Интегралдық тұжырымдамасы[өңдеу]

\varphi\left( x \right) дөңес функция және интегралданатын f\left( x \right) функциясы үшін

\varphi\left(\int_a^b  f(x)\, dx\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b \varphi((b-a)f(x)) \,dx. орындалады


Тағы қараңыз[өңдеу]