Кардано формуласы

Кардано формуласы –

$y^{3}+py+q=0\,$

түріндегі кубтық теңдеудің түбірлерін комплекс сандар өрісінде табуға арналған формула. Оның өрнектелуі мынадай: Кардано формуласындағы куб түбірлердің мәндерін, олардың көбейтіндісі –p/3-ге тең болатындай етіп алу керек. Ал теңдеудің түбірлерін табу үшін осы мәндерді қосу қажет. Осы жолмен теңдеудің үш түбірі табылады. Кардано формуласы италиялық математик, философ әрі дәрігер Дж.Кардано (1501 – 1576) есімімен аталған. Ол оны алғаш рет 1545 жылы жариялаған. Жалпы тұрдегі кез келген кубтық теңдеу

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

жоғарыда көрсетілген келтірілген түрде кожффициенттері $p$ мен $q$ болатындай жазыла алады:

$p=-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}+{\frac {c}{a}}$

$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}$

керекті мына түрдегі $\,x=y-\alpha$ айнымалы ауыстыруымен.

Соңғы үшеуін кубтық теңдеуге қойып мынаны табамыз:

$x=y-{\frac {b}{3a}}$

Формуласы

Q деп:

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$ белгілейік

Егер кубтық теңдеудің барлық коэффициенттері нақты болса, онда Q да нақты сан болады, ал оның таңбасымен түбірлерінің түрлерін білуге болады:

• Q > 0 — бір нақты түбір және екі түйіндес түбірлер.
• Q = 0 — бір еселік түбір және екі еселік түбірлер, немесе, егер p = q = 0, онда бір үш еселік нақты түбір.
• Q < 0 — үш нақты түбір. Бұл «келтірілмейтін» жағдай, дәл осы жағдайды зерттеу кезінде алғашқы рет комплекс сан ұғымы пайда болды.

Кардано формуласы бойынша, кубтық теңдеудің түбірлері келтірілген түрінде:

$~y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{2,3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

мұндағы

$\alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},$

$\beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},$

$y^{3}+py+q$ көпмүшеліктің дискриминанты бұл жағдайда - $\Delta =-108Q$.

Осы формулаларды пайдалана, $\alpha$-ның әр үш мәні үшін $\alpha \beta =-p/3$ шарты орындалатындай $\beta$ (бұндай $\beta$ мәні әрқашан болады).

Егер кубтық теңдеу нақты болса, онда мүмкіндігінше нақты $\alpha ,\beta$ алған дұрыс.