Кардано формуласы

Кардано формуласы^[1] –

$y^3+py+q=0\,$

түріндегі кубтық теңдеудің түбірлерін комплекс сандар өрісінде табуға арналған формула. Оның өрнектелуі мынадай: Кардано формуласындағы куб түбірлердің мәндерін, олардың көбейтіндісі –p/3-ге тең болатындай етіп алу керек. Ал теңдеудің түбірлерін табу үшін осы мәндерді қосу қажет. Осы жолмен теңдеудің үш түбірі табылады. Кардано формуласы италиялық математик, философ әрі дәрігер Дж.Кардано (1501 – 1576) есімімен аталған. Ол оны алғаш рет 1545 жылы жариялаған. Жалпы тұрдегі кез келген кубтық теңдеу

$ax^3+bx^2+cx+d=0\,$

жоғарыда көрсетілген келтірілген түрде кожффициенттері $p$ мен $q$ болатындай жазыла алады:

$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

керекті мына түрдегі $\,x=y-\alpha$ айнымалы ауыстыруымен.

Соңғы үшеуін кубтық теңдеуге қойып мынаны табамыз:

$x=y-\frac b{3a}$

Формуласы

Q деп:

$Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2.$ белгілейік

Егер кубтық теңдеудің барлық коэффициенттері нақты болса, онда Q да нақты сан болады, ал оның таңбасымен түбірлерінің түрлерін білуге болады:

• Q > 0 — бір нақты түбір және екі түйіндес түбірлер.
• Q = 0 — бір еселік түбір және екі еселік түбірлер, немесе, егер p = q = 0, онда бір үш еселік нақты түбір.
• Q < 0 — үш нақты түбір. Бұл «келтірілмейтін» жағдай, дәл осы жағдайды зерттеу кезінде алғашқы рет комплекс сан ұғымы пайда болды.

Кардано формуласы бойынша, кубтық теңдеудің түбірлері келтірілген түрінде:

$~ y_1 = \alpha + \beta,$

$y_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3},$

мұндағы

$\alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} },$

$\beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} },$

$y^3+py+q$ көпмүшеліктің дискриминанты бұл жағдайда - $\Delta = - 108 Q$.

Осы формулаларды пайдалана, $\alpha$-ның әр үш мәні үшін $\alpha\beta=-p/3$ шарты орындалатындай $\beta$ (бұндай $\beta$ мәні әрқашан болады).

Егер кубтық теңдеу нақты болса, онда мүмкіндігінше нақты $\alpha, \beta$ алған дұрыс.