Квадрат теңдеу

Қазақша Уикипедияның мағлұматы

Квадрат теңдеу деп

$ax^2+bx+c=0,\,\!$

түріндегі көпмүшелі теңдеуді айтамыз. Мұндағы a≠0 (Егер a = 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі - парабола (яғни квадрат функция)

a, b, және c әріптері - коэффиценттер деп аталады: a квадраттық коэффиценті - x²-тың коэффиценті, b коэффиценті - x-тің коэффиценті, ал c - тұрақты коэффицент немесе тұрақты мүше

ax² + bx + c - ның графиктері (Әр коэффицентінің мәнін өзгерткенде)

[өңдеу] Квадрат формуласы

Квадрат теңдеудің коэффиценттері нақты болса, оның екі шешімі немесе түбірі болады. Оларды квадрат формуласы сипаттайды:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ,

яғни:

$x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

және

$x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

[өңдеу] Дискриминант

Дискриминант мәндеріне байланысты түбірлер
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Төмендегі формула квадрат түбірлерді табуға қажет:

$D = b^2 - 4ac , \,\!$

Бұл дискриминант деп аталады.

Квадрат функцияның коэффиценттері нақты сан болса (комплекс сан емес) онда оның бір әлде екі нақты немесе екі комплекс түбірлері бар. Осыған байланысты дискриминант түбірлердің түрі мен санын анықтайды. Дискриминант мәніне байланысты үш жағдай болуы мүмкін:

Егер дискриминант оң сан болса теңдеудің 2 түбірі бар және олар нақты:

$\begin{align} x_1 &= \frac{-b + \sqrt {D}}{2a} \\ x_2 &= \frac{-b - \sqrt {D}}{2a} \\ \end{align}$

Егер дискриминант нөлге тең болса, теңдеудің бір нақты түбірі бар:

$x = -\frac{b}{2a} . \,\!$
Егер дискриминант теріс сан болса теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Керісінше, теңдеудің екі комплекс түбірі бар:

$\begin{align} x_1 &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align}$ мұнда $\begin{align}|D|\end{align}$ - абсолют мәні(+ve) және $\begin{align}i \end{align}$ = $\begin{align}{\sqrt {-1}}\end{align}$

$\begin{align} x_2 &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {|D|}}{2a} \end{align}$

[өңдеу] Мысалдар

$7 x + 15 - 2 x 2 = 0$ теңдеуінде дискриминант оң: $Δ = 169$ және екі нақты шешімі (түбірлері) бар:

$x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\cdot(-2)}= 5$

$x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\cdot(-2)} = -\frac{3}{2}.$
$x 2 - 2 x + 1 = 0$ теңдеуінің дискриминанты нөлге тең: $Δ$ =0 яғни, теңдеудің бір шешімі бар:

$x =-\frac{-2}{2}=1$
$x 2 + 3 x + 3 = 0$ теңдеуінің нақты сандар арасында шешімі жоқ, өйткені: $Δ = - 3 < 0$ . Бірақ екі комплекс түбірлері бар:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2}$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}.$