Кері тригонометриялық функциялар

Кері тригонометриялық функциялар (аркфункциялар; лат. arc — доға) — тригонометриялық функцияларға кері функциялар. Керi тригонометриялық функцияларға алты функция жатады (әр тригонометриялық функцияларға сәйкес).^[1]

• арксинус (белгіленуі: arcsin)
• арккосинус (белгіленуі: arccos)
• арктангенс (белгіленуі: arctg; шетелдiк әдебиеттерде arctan)
• арккотангенс (белгіленуі: arcctg; шетелдiк әдебиеттерде arccot немес arccotan)
• арксеканс (белгіленуі: arcsec)
• арккосеканс (белгіленуі: arccosec; шетелдiк әдебиеттерде arccsc)

Негiзгi байланыстар

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

$\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}$

Арксинус

$~y = \arcsin x$ фунциясының графигі.

$y=\arcsin x$ өспелі функция болып табылады.

• $\sin (\arcsin x) = x\qquad$ , егер $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
• $\arcsin(\sin y) = y\qquad$ , егер $-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},$
• $D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad$ (анықталу облысы),
• $E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad$ (мәндер облысы).

Қасиеттері

• $\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad$ (тақ функция).
• $\arcsin x>0 \,$ , егер $0 < x \leqslant 1.$
• $\arcsin x = 0\,$ , егер $~x=0.$
• $\arcsin x < 0\,$ , егер $-1 \leqslant x < 0.$
• $\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
• $\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\ -\operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.$

Арккосинус

$~y=\arccos x$ фунциясының графигі.

Арктангенс

$~y=\operatorname{arctg}\, x$ фунциясының графигі.

Арккотангенс

$~y=\operatorname{arcctg}\, x$ фунциясының графигі.

Арксеканс

$\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\,$

Арккосеканс

$\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (x)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{x}\right)\,$

Кері тригонометриялық функциялар туындылары

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.$
$(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.$

Кері тригонометриялық функциялар интегралдары

Нақты және комплексті x үшін:

$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C. \end{align}$

Нақты x ≥ 1 үшін:

$\begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}$

Түсініктемелер

1. Обратные тригонометрические функции (орыс.)