Кері тригонометриялық функциялар

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Кері тригонометриялық функциялар (аркфункциялар; лат. arc — доға) — тригонометриялық функцияларға кері функциялар. Керi тригонометриялық функцияларға алты функция жатады (әр тригонометриялық функцияларға сәйкес).[1]

Негiзгi байланыстар[өңдеу]

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}

Арксинус[өңдеу]

~y = \arcsin x фунциясының графигі.

y=\arcsin x өспелі функция болып табылады.

  • \sin (\arcsin x) = x\qquad , егер -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arcsin(\sin y) = y\qquad , егер -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},
  • D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad (анықталу облысы),
  • E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad (мәндер облысы).

Қасиеттері[өңдеу]

  • \arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad (тақ функция).
  • \arcsin x>0 \, , егер 0 < x \leqslant 1.
  • \arcsin x = 0\, , егер ~x=0.
  • \arcsin x < 0\, , егер -1 \leqslant x < 0.
  • \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.
  • \arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
  • \arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\ -\operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.

Алуынуы[өңдеу]

Арккосинус[өңдеу]

~y=\arccos x фунциясының графигі.

Арккосинус - косинуске Kepi функция. Арккосинус Arccos z деп белгіленеді. Арккосинус - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккосинус логарифм және квадрат түбір арқылы мына

Arccos z = \frac{1}{i}Ln(z+\sqrt{z^2-1})[2]

Қасиеттері[өңдеу]

Алуынуы[өңдеу]

Арктангенс[өңдеу]

~y=\operatorname{arctg}\, x фунциясының графигі.

Арктангенс - тангенске Kepi функция. Арктангенс Arctg z деп белгіленеді. Арктангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арктангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arctg z = \frac{1}{2i}Ln\frac{1+iz}{1-iz}[2]

Қасиеттері[өңдеу]

Алуынуы[өңдеу]

Арккотангенс[өңдеу]

~y=\operatorname{arcctg}\, x фунциясының графигі.

Арккотангенс - котангенске кері функция. Арккотангенс Arcctg z - деп белгіленеді. Арккотангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккотангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arcctg z = \frac{1}{2i}Ln\frac{z+i}{z-i}[2]

Қасиеттері[өңдеу]

Алуынуы[өңдеу]

Арксеканс[өңдеу]

\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\, Арксеканс - секанске кері функция. Арксеканс Arcsec z деп белгіленеді. Арксеканс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арксеканс логарифм және квадрат түбір арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arcsec z = \frac{1}{i}Ln(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2-1})[2]

Арккосеканс[өңдеу]

\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (x)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{x}\right)\, Арккосеканс - косеканске кері функция. Арккосеканс Arccosec z деп белгіленеді. Арккосеканс көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. z-тің нақты мәндерінде Арккосеканс [-π/2;π/2] аралығында жататын бірмәнді тармағы арккосеканс бас мәні деп аталады. Логарифмдік функция арқылы Арккосеканс мына формула арқылы өрнектеледі:

Arccosec z = \frac{1}{i}Ln(\frac{1}{z}+\sqrt{1-\frac{1}{z^2}})[2]

Кері тригонометриялық функциялар туындылары[өңдеу]

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.
(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.

Кері тригонометриялық функциялар интегралдары[өңдеу]

Нақты және комплексті x үшін:


\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\

\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C.
\end{align}

Нақты x ≥ 1 үшін:


\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C.
\end{align}

Анықталмаған интегралдар[өңдеу]

Шексіз қатарларға жіктеу[өңдеу]

Геометрияда қолдану[өңдеу]

Тағы қараңыз[өңдеу]

Түсініктемелер[өңдеу]

  1. Обратные тригонометрические функции (орыс.)
  2. a b c d e Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Математика / 0-71 Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д., профессор Е. Арын — Павлодар: «ЭКО» ҒӨФ. 2007 жыл. - 192 б. ISBN 9965-08-339-8