Косинустар теоремасы

Косинустар теоремасы – үшбұрыштың екі қабырғасы мен сол екі қабырғаның арасындағы бұрышы бойынша оның үшінші қабырғасын анықтауға арналған теорема. Бұл теорема былайша тұжырымдалады: үшбұрыштың кез келген бір қабырғасының квадраты былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысынан сол қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш косинусының екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$,

мұндағы a, b, c – үшбұрыштың қабырғалары, $\alpha$ – үшбұрыштың а және b қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Дәлелдеу  

Үшбұрыш ABC-ны қарастырайық. C төбесінен AB қабырғасына CD биіктік түсірейік. ADC үшбұрышынан:

$AD = b \cos \alpha$,

$DB = c - b \cos \alpha$

Пифагор теоремасын екі тік бұрышты үшбұрыш ADC мен BDC үшін жазайық:

$h^2 = b^2 - (b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)$

$h^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad (2)$

(1) мен (2) теідеулерінің оң жақтарын теңестірсек:

$b^2 - (b \cos \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2$

немесе

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Егер табанындағы бір бұрышы дэңес болған жағдайда (ал биіктігі табанының созындысына түседі), толықтай біз қарастырғандай болады.

b мен c қабырғалары үшін:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Пайдаланған әдебиет

Қазақ Энциклопедиясы, 11 - том