Көпмүшелік

Уикипедия жобасынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп математикада келесі функцияны айтады

F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,

мұндағы c_i тұрақты коэффициенттер, ал x — айнымалы. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды табы болып табылады.


«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізіг өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..

Анықтама[өңдеу]

n айнымалылы көпмүшелік (немесе полином) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады

\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n},

мұндағы I=(i_1,i_2,\dots,i_n) теріс емес бүтін сандар жиыны (мультииндекс деп аталатын), c_I — тек мультииндекс I-ға тәуелді («көпмүшелік коэффициенті деп аталатын») сан.

Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады

c_0+c_1x^1+\dots+c_nx^n.

Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті R сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер

R[x_1,x_2,\dots,x_n].

деп белгіленетін сақина (оның үстіне R сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

Қосымша анықтамалар[өңдеу]

  • Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады.
  • c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} түріндегі көпмүшеліктерді бірмүшелік немесе моном деп атайды
    • I=(0,\dots,\,0) мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті бос мүше деп атайды.
  • Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны екімүшелік немесе бином дейді,
  • Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны үшмүшелік деп атайды.
  • c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} (нөл емес) бірмүшеліктің толық дәрежесі деп мына бүтін санды айтады |I|=i_1+i_2+\dots+i_n.
    • Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды
  • Коэффициенттері c_I нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын - Ньютон көпжағы дейді.

Көбейткіштерге жіктеу[өңдеу]

Көбейткіштерге жіктеукөпмүшеліктерді бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне теңбе-тең етіп түрлендіру. Көбейткіштерге жіктеу өрнекті жинақы түрге келтіреді. Көбейткіштерге жіктеудің негізгі тәсілдері:

  1. ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару, мысалы, 2a3b–3ab2 ==ab(2a2–3b),
  2. Қысқаша көбейту және бөлу формулаларын қолдану, мысалы, 4x2–4xy+y2==(2x–y)2, 8a3–b3==(2a–b)(4a2+2ab+b2);
  3. қосылғыштарды топтастыру, мысалы, 2ac–4ad+3bc–6bd==2a(c–2d)+3b(c–2d)==(2a+3b)(c–2d).
  4. Қосылғыштарды бөлшектеу, мысалы, a2+3a+2=a2+2a+a+2= =a(a+2)+(a+2)=(a+1)(a+2).

Бір айнымалы шамаға тәуелді нақты немесе комплекс коэффициенттері бар кез келген көпмүшелік бірінші дәрежелі көбейткіштерге (комплексті коэффициенттері де болуы мүмкін) жіктеледі. Көпмүшеліктің жіктелуі былай өрнектеледі: a0xn+a1xn–1+...+an=a0(x–a1)(x–a2)...(x–an), мұндағы a1, a2, ..., an – көпмүшеліктің түбірлері.

Тағы қараңыз[өңдеу]