Көпмүшелік

Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп математикада келесі функәияны айтады

$F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,$

мұндағы $c_i$ тұрақты коэффициенттер, ал $x$ — айнымалы. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды табы болып табылады.

«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізіг өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..

Анықтама

n айнымалылы көпмүшелік (немесе полином) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады

$\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$,

мұндағы $I=(i_1,i_2,\dots,i_n)$ теріс емес бүтін сандар жиыны (мультииндекс деп аталатын), $c_I$ — тек мультииндекс I-ға тәуелді («көпмүшелік коэффициенті деп аталатын») сан.

Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады

$c_0+c_1x^1+\dots+c_nx^n.$

Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті $R$ сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер

$R[x_1,x_2,\dots,x_n].$

деп белгіленетін сақина (оның үстіне $R$ сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

Қосымша анықтамалар

• Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады.
• $c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$ түріндегі көпмүшеліктерді бірмүшелік немесе моном деп атайды
  • $I=(0,\dots,\,0)$ мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті бос мүше деп атайды.
• Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны екімүшелік немесе бином дейді,
• Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны үшмүшелік деп атайды.
• $c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$ (нөл емес) бірмүшеліктің толық дәрежесі деп мына бүтін санды айтады $|I|=i_1+i_2+\dots+i_n$.
  • Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды
• Коэффициенттері $c_I$ нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын - Ньютон көпжағы дейді.