Лаплас операторы

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Лаплас операторы, лапласиан (дельта операциясы)— х1, х2, ..., хn айнымалыларынан тәуелді F\ 1, х2, ..., хn) функциясына \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F функциясын сәйкес келтіретін \ \Delta сызықты дифференциал операторы. Дербес жағдайда бір айнымалылы F\ (х) функциялары үшін Лаплас операторs екінші туынды операторымен сәйкес келеді:\ \Delta F\ (x) = F''\ (x) .

\ \Delta F\ (x) =0 теңдеуін әдетте Лаплас теңдеуі деп атайды. \ \Delta белгілеуін Р.Мерфи енгізген (1833).

Лаплас операторы үшін әр түрлі қисық сызықты координаттар жүйесіндегі өрнектері[өңдеу]

Үш өлшемді q_1,\ q_2,\ q_3 кеңістіктегі кез келген ортогоналды қисықсызықты координаттар үшін:

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
мұндағы H_i\  — Ламе коэффициенттері.

Цилиндрлік координаттар[өңдеу]

Цилиндрлік координаттарда түзуден тыс \ r=0:

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сфералық координаттар[өңдеу]

Сфералық координаттар бас нүктеден тыс (үш өлшемді кеңістікте):

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

немесе

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

Егер \ f=f(r) болса n-өлшемді кеңістікте:

 \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболалық координаттар[өңдеу]

Параболалық координаттарда (үш өлшемді кеңістікте) бас нүктеден тыс:


\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрлік параболалық координаттар[өңдеу]

Параболалық цилиндр координаттарында бас нүктеден тыс:

\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}


Пайдаланған әдебиет[өңдеу]