Мори теоремасы

Мори теоремасы (ағылш. Morrie's law) — бұл келесі Тригонометрикалық үйлестіктің кездейсоқ аты:

$\cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ)=\frac{1}{8}.$

Бұл одан жалпы түрдің жекеше түрі болып табылады

$2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}$

n = 3 және α = 20° болғанда. «Мори теоремасы» аты дәл осы атпен бұл үйлесімділікті пайдаланған Ричард Фейнман арқасында пайда болды. Фейнман бұл атты балалық шағында Мори Якобс деген баладан осы үйлесімділікт туралы естіп жаттап алғаннан солай пайдаланған.^[1]

Синусқа қатысты баламасын да жазуға болады:

$\sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ)=\frac{\sqrt 3\ }{8}.$

Оның үстіне екіншісін бірінші үйлесімділікке бөлгенде тангенс үшінде табатынымыз:

$\tan(20^\circ) \cdot \tan(40^\circ) \cdot \tan(80^\circ)=\sqrt 3 = \tan(60^\circ). \,$

Дәлелдеу

Қос бұрыштың синусы формуласын пайдаланып былай жазамыз

$\sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha). \,$

Осыдан $\cos(\alpha)$ өрнектеледі

$\cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)}.$

Онда

$\begin{align} \cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt] \cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\ & {}\,\,\, \vdots \\ \cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}. \end{align}$

Осы теңдіктердің сәйкесінше оң жіне сол жақтарын көбейте табатынымыз:

$\cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)= \frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.$

Бөлшектерді қысқартқанда соңғы алымында да, біріншінің бөлімінде де синус қалады, сонымен бірге 2-нің n дәрежесі бөлімінде қалады:

$\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)},$

Ал мұл Мори теоремасының жалпы түрі.

ескерту

1. W.A. Beyer, J.D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43-44, 1996.