Синустар теоремасы

Синустар теоремасы — кез келген үшбұрыштың а, b, с қабырғалары мен оларға қарсы жатқан А, В, С бұрыштарының синустары арасындағы қатысты сипаттайтын тригонометриялық теорема; формула түрінде теңдіктері арқылы жазылады (мұндағы R — үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің радиусы).

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,$

мұндағы $a$, $b$, $c$ — үшбұрыш қабырғалары, $\alpha, \beta, \gamma$ — сәйкесінше оларға қарсы жатқан төбелеріндегі бұрыштар, ал $R$ — үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы .

Дәлелдеу  

Мынаны дәлелдесе жеткілікті

$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.$

Сырттай сызылған шеңбердің диаметрін $|BG|$ жүргізейік. Шеңберге іштей сызылған бұрыштар қаситеі бойынша бұрыш $GCB$ тік болады, ал бұрыш $CGB$ не $\alpha$ (бұрыш $CAB$), егер $A$ мен $G$ нүктелері $BC$ түзуінің бір жағында жатса, немесе $\pi-\alpha$ мініне тең кері жағдайда. $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ болғандықтан, екі жағдайда да $a=2R\sin\alpha$. Осы жолмен басқа екі қабырғалары үшін де табатынымыз:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.$

Вариациялары мен жалпыламасы

• В $n$-өлшемді симплексте келесі қатынас орын алады

  $R_n=\frac{R_{n-1}^i}{\sin 2{A_{n-1}^i}},$

мұндағы $R_n$ — сырттай сызылған сфера радиусы; $R_{n-1}^i$ — $(n-1)$-өлшемді сырттай сызылған сфера радиусы $i$-жақтары; $A_{n-1}^i$ — $i$-ші төбесіне сырттай сызылған конустың бұрыштық радиусы.

Тағы қараңыз

• Косинустар теоремасы
• Тангенстер теоремасы
• Котангенстер теоремасы