Эйлер — Маскерони тұрақтысы

Э́йлера — Маскеро́ни тұрақтысы немесе Эйлер тұрақтысы — частичной суммой гармоникалық қатардың бөлігінің қосындысыны мен натурал логарифм айырмашылығының шегі болып табылатын математикалық тұрақты:

$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n}{1\over k} - \ln n \right)$

Тұрақтыны 1735 жылы Леонардом Эйлером енгізген, Эйлердің өзі оны C деп белгілеуге ұсынған, бұл белгілеу кейде әлі де қолданылады. Италья математигі Лоренцо Маскерони 1790 жылы тұрақтының алғашқы 32 белгісін есептеп оның замануи $\gamma$ (грек гамма әрпі) белгілеуін ұсынды.

Құрақты мәні:

$\gamma$ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…

Сандар теориясында көп жағдайда мына тұрақты пайдаланылады

e^γ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343…

Қасиеттері

• Эйлер тұрақтысы интеграл арқылы өрнектеле алады:

  $\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx$

  $\gamma=1-\int\limits_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{x\}}{x^2}\,dx$, мұндағы $\left\{t\right\}$ — t санының бөлшек бөлігі .

• Сонымен қатар ол Эйлердің гамма-функциясының туындысы арқылы да жазылады:

  $\gamma = -\Gamma^'(1)$.

• Осы уаөытқа дейін рационал сан ба, жоқ па беймәлім. Дегенмен шынжырлы бөлектер теориясы бойынша егер Эйлер тұрақтысы рационал болса, онда оның бөлімі $10^{242080}$ санынан үлкен
• $\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum\limits_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(k!)$.