Эйлер — Маскерони тұрақтысы

Э́йлера — Маскеро́ни тұрақтысы немесе Эйлер тұрақтысы — частичной суммой гармоникалық қатардың бөлігінің қосындысыны мен натурал логарифм айырмашылығының шегі болып табылатын математикалық тұрақты:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)$

Тұрақтыны 1735 жылы Эйлер Леонард енгізген, Эйлердің өзі оны C деп белгілеуге ұсынған, бұл белгілеу кейде әлі де қолданылады. Италья математигі Лоренцо Маскерони 1790 жылы тұрақтының алғашқы 32 белгісін есептеп оның замануи $\gamma$ (грек гамма әрпі) белгілеуін ұсынды.

Құрақты мәні:

$\gamma$ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…

Сандар теориясында көп жағдайда мына тұрақты пайдаланылады

e^γ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343…

Қасиеттері

• Эйлер тұрақтысы интеграл арқылы өрнектеле алады:

  $\gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx$

  $\gamma =1-\int \limits _{0}^{1}\left\{{\frac {1}{x}}\right\}dx=1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}\,dx$, мұндағы $\left\{t\right\}$ — t санының бөлшек бөлігі .

• Сонымен қатар ол Эйлердің гамма-функциясының туындысы арқылы да жазылады:

  $\gamma =-\Gamma ^{'}(1)$.

• Осы уаөытқа дейін рационал сан ба, жоқ па беймәлім. Дегенмен шынжырлы бөлектер теориясы бойынша егер Эйлер тұрақтысы рационал болса, онда оның бөлімі $10^{242080}$ санынан үлкен
• $\gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)$.