Аньези локоны

Верзьера Аньези

Аньези локоны немесе Верзьера Аньези - декарттық координаталар жүйесінде $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ теңдеуімен берілетін жазық қисық сызық. Өз атауын осы қисық сызығын зерттеген итальяндық математик Марии Гаэтана Аньезидің құрметіне қойған.

Теңдеулер

$O=(0,0)$, $A=(0,a)$

Егер ОА=а шеңбер диаметрі, ОС - қиюшы түзу және СМ||Ох, ВМ||Оу болса, онда М нүктесі Аньези локонында жатады. Абсцисса осі Аньези локонына асимптота болады.

$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

  

Локон үстінде жататын $M$ нүктесінің координаттары - $x=BM$, $y=OB$. $OA=a$.

Пропорция құраймыз

$\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}$

Осы жерден:

$\textstyle BC={\frac {xy}{a}}$

$BC$-ты шеңбер теңдеуінен табкға болады:

$\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}$

Бізге белгілі$y=OB$, осы жерден $x^{2}$:

$\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

$BC$ үшін екі формуланы теңдестіреміз:

$\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Квадратқа дәрежелейміз, және $y^{2}$-ны жақшаның сsртына шығарамыз:

$\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay$

y-ты білдіреміз:(y=0 болмайды):

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

Егер$a$ — шеңбердің диаметрі емес, радиусы болса:

$\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}$

Дереккөздер

• “Қазақстан”: Ұлттық энциклопедия/Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы “Қазақ энциклопедиясы” Бас редакциясы, 1998