Бернулли сандары

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Бернулли сандары — дәрежелері бірдей натурал сандардың түріндегі қосындысын есептеу кезінде швейцариялық ғалым Я.Бернулли тапқан (1713) В0, В1, В2, ... рационал сандар тізбегі (мұндағы — биномдық коэффициенттер, n=0, 1,..., m=1, 2, ...). В1-ден басқа тақ нөмірлі Бернулли сандары нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбасы ауысып отырады (мысалы, алғашқы Бернулли сандарының мәндері мынадай: В0=1, В1=–1/2, В2=1/6, В3=0, В4=–1/30, В5=0, В6=1/42, В7=0, В8=–1/30, В9=0). Бернулли сандарын есептеуге мүмкіндік беретін рекурренттік қатынастың түрі: В0=1, n2. Бернулли сандары математикалық анализде, сандар теориясында, жуық есептеулерде кеңінен қолданылады. [1] Бұл сандар алғашқы рет келесі қосындыны есептеу барысында пайда болды:

\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k {k+1\choose s} B_s N^{k+1-s}.

Рекурренттік формуласы[өңдеу]

Бернулли сандарын есептеу үшін келесі рекурренттік формула бар:

\displaystyle{B_0=1\; ,}
B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n {n+1\choose k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.

Қасиеттері[өңдеу]

  • Тақ нөмірлі Бернулли сандары, {\textstyle{B_1}}-ден басқасы, нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбалары алма кезек ауысып тұрады.
  • Бернулли сандары Бернулли көпмүшеліктерінің {\textstyle{B_n(x)}} коэффициенттеріне {\textstyle{x=0}} болғанда тең болады:
\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}
B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
Осыдан:
\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\; барлық n үшін.
  • \int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.

Пайдаланылған әдебиет[өңдеу]

  1. “Қазақ Энциклопедиясы”, II-том