Дифференциалдық есептеу

Қарамен белгіленген функцияға қызыл түспен сызылған жанама. Жанаманың градиенті функцияның сол нүктедегі (қызыл нүктедегі) туындысының мәніне тең.

Дифференциалдық есептеу (Дифф-есеп) — функцияның өзгеру қарқынын зерттейтін математикалық талдау (матталдау) саласының бөлігі.

Дифф-есептің басты мақсаты ол функцияның туындысын табу мен оның қолданыс аясы. Функцияның туындысының мәні ол — негізгі функцияның сол сәттегі өзгеріс шамасы. Негізгі функцияның туындысын табуды дифференциация деп атайды. Геометрикалық тұрғыдан функцияның белгілі бір нүктедегі туындысы негізгі функцияның сол нүктеден өтетін жанама түзудің градиентіне тең, әрине бұл тек сол нүктедегі туынды белгілі болғанда ғана рас. Шын өмірдегі физикалық шамаларды көрсететін функциялардың белгілі бір нүктедегі туындысы, сол нүктедегі шаманың аппроксимациясын көрсетеді.

Дифф-есеп матталдаудың екі тармағының бірі, басқа тармағы Интегралдық есептеу (Инт-есеп) — функцияның сызығының астындағы аудан табу ғылымы. Дифф-есеп пен инт-есеп бір-біріне матталдаудың негізгі теоремасы арқылы байланысқан. Ол теоремаға сенсек — туынды мен интеграл бір-біріне кері амалдар, функцияның интегралының туындысы және туындысының интегралы негізгі функцияға тең болады.

$\int f'(x)dx=f(x)+C$ немесе $(\int f(x)dx)'=f(x)$

Туындыны табу ғылым салаларының көбінде қолданысын табады. Физикада қозғалып жатырған заттың орнының уақыт арқылы туындысы ($x'={\frac {dx}{dt}}=\upsilon$) оның жылдамдығына, ал жылдамдықтың уақыт арқылы туындысы ($x''={\frac {d\upsilon }{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a$) оның үдеуіне тең. Импульстің уақыт арқылы туындысы болса, Ньютонның екінші заңындағы күшке тең (${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}$). Химиялық реакцияның жылдамдығы да — туынды.

Туындыны табу функциялардың максимум және минимум нүктелерін табуда да қолданылады. Туындылары бар өрнектер диффтең деп аталады, ол шын өмірдегі үдерістерді сипаттауда айрықша мәнге ие (мысалы денелердің сууы, судың ағу жылдамдығы). Туынды табу мен оның қарапайым түрлері математиканың сан-түрлі салаларында қолданысқа ие олар: комплексті талдау, функционалдық талдау, дифференциалдық геометрия, жиын өлшемі, абстрактілі алгебра.

Туынды

$\Delta x$ яғни $h$ нөлге ұмтылған сайын қиюшының жанамаға жақындауы.

Туынды — дифф-есептің басты тақырыбы. Бір мағыналы функцияның туындысың бір нүктедегі мәні, ол негізгі функцияның сол нүктедегі өзгеру жылдамдығы. Геометрикалық тұрғыдан функцияның белгілі бір нүктедегі туындысы негізгі функцияның сол нүктеден өтетін жанама түзудің градиентіне тең, әрине егер сол жанама анықтала алатын болған жағдайда ғана.

Егер $y=f(x)$ болса, $f$-тің $x$ арқылы туындысы әдетте $f'(x)$ әлде ${\frac {dy}{dx}}$ арқылы белгіленеді. Егер осы шек анықталған болса, ол туындыны осы шек арқылы табуға болады

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Осы шектің ішіндегі мән $f(x)$ функциясының қиятын түзудің градиенті. $h$-тің мәні нөлге ұмтылған сайын қиюшы түзу жанама түзуге (ол бар болған жағдайда) жақындай түседі.

Мысалы $f(x)=x^{2}$ екені берілсе, $f'(x)=2x$. Сонда $y=x^{2}$ параболасының $x=2$ нүктесіндегі градиенті 4-ке тең.

Туындыларды табу кезінде көбісін шекке салмай-ақ туындының ережелері арқылы табуға болады. Мысалға ол ережелердің біреуіне сәйкес $n\neq 0$ болған жағдайларда.

$(x^{n})'=nx^{n-1}$

Сызықтық жуықтау

Туындыны функцияның белгілі бір нүктедегі жуықтауыш түзудің градиенті деп елестетуге болады. Егер $f$ функциясының $a$ нүктесіндегі туындысы белгілі болса, онда $a$-ға жақын $x$-тің мәндерінде,

$f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$

деп жазуға болады. Бұл сызықтық функция болғандықтан бұл жердегі $f'(a)$ ол түзудің градиенті, $(x-a)$ түзудің $x$ осіндегі ығысуы және $f(a)$ түзудің $y$ осіндегі ығысуы. Егер аталмыш функциядағы $a$ мен $f(a)$ бізге қажетті нүктенің $x_{0}$ һәм $y_{0}$ нүктелері, ал градиенті $f'(a)=k$ екені белгілі болса. Онда біз белгілі бір нүктеден өтетін коффиценті белгілі түзу теңдеуіне келеміз $y-y_{0}=k(x-x_{0})$.

Егер жуықтау функциясындағы $\Delta x=x-a$ және $\Delta y=f(x)-f(a)$ деп белгілесек, $y$-тің өзгерісін астыда көрсетілген теңдеумен жуықтауға болады.

$\Delta y\approx f'(a)\Delta x\to {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\approx f'(a)$

Бұл формула жуықтау болғандықтан, $y$-тің шын өзгерісі мен біз санаған өзгерісінің арасында қателік болады. $\Delta x$ пен $\Delta y$ нөлге ұмтыла берсе, бұл қатеміз кішірейе беретін болады. Сонда біз туындының анықтамасына қол жеткізген боламыз. Бұл сызықтық өзгеріс Лейбництің белгілеуінде

$dy=f'(x)dx$

деп жазылған болатын. Бұл жердегі $dx$ тәуелсіз айнымалының кішігірім өзгерісіне тең болса $dy$ тәуелді айнымалының өзгерісін көрсетеді. Оған қоса бұл өрнектен біз жоғарыда айтып кеткендей, туындының анықтамасына келеміз.

${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$

Тағы қараңыз

• Вариациялық есептеу
• Интегралдық есептеу