Дифференциал (математика)

Дифференциал (лат. айырым, айырмашылық) — функцияның өсімшесінің басты сызықтық бөлігі. dy арқылы белгілініді, мұндағы y=f(x) ; аргуметтің өсімшесіне көбейтілген f(x) функциясының туындысына тең.

Неміс математигі, физигі, ірі өнертапқышы Готфрид Лейбниц (1646 – 1716) пен швейцар математиктері ағайынды Якоп Бернулли (1651 – 1705) және Иоганн Бернуллидің (1667 – 1748) ғылыми еңбектерінде “Дифферентиа” деген сөз “өсімше” сөзімен мағынасында қолданылған, оны И. Бернулли ∆шартты белгісі арқылы белгілінген. Г. Лейбниц “шексіз аз айырым” үшін d белгісін пайдаланған. Бұл белгі “Дифференциял ” деген сөздің алғашқы әріпі.

Пайдаланған әдебиеттер

Математика әлемі

Дифференциал (математикада)

Дифференциал — функция өсімшесінің оның сызықтық жуықтауына тең бас мүшесі.

Бір айнымалы функцияның дифференциалы

$f(x)$ функциясы $x_{0}$ нүктесінде туындысы бар болсын. Онда аргумент өсімшесі $\Delta x$ болғанда функция өсімшесі:

$\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}).$

Егер функция $x_{0}$ нүктесінде дифференциалданатын болса, онда

$\Delta f=f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x),\quad \Delta x\to 0.$

Анықтама бойынша, функцияның дифференциалы:

$df=f'(x_{0})\,dx.$

Мұнда $dx=\Delta x$ деп алынады.

Осылайша, дифференциал туындымен тікелей байланысты: бір айнымалы жағдайда функция дифференциалданады ⇔ туындысы бар.

Көп айнымалы функцияның дифференциалы

$z=f(x_{1},\dots ,x_{n})$ функциясы $(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ нүктесінде анықталған болсын.

Функция дифференциалданатын деп аталады, егер

$\Delta z=f(x_{1}^{0}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}^{0}+\Delta x_{n})-f(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$

өсімшесі мына түрде жазылса:

$\Delta z=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x^{0})\Delta x_{k}+o(\rho ),\quad \rho \to 0,$

мұндағы

$\rho ={\sqrt {(\Delta x_{1})^{2}+\cdots +(\Delta x_{n})^{2}}}.$

Онда функцияның толық дифференциалы:

$dz=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}\,dx_{k}.$

Яғни, көп айнымалы функцияның дифференциалы — дербес туындылар арқылы анықталатын сызықтық форма.

Қасиеттері

• Дифференциалданатын функция міндетті түрде үздіксіз.
• Бір айнымалы жағдайда дифференциалдану мен туындының бар болуы эквивалент.
• Көп айнымалы жағдайда барлық дербес туындылардың бар болуы жеткіліксіз; олардың үздіксіздігі жеткілікті шарт болып табылады.

Әдебиет

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. — М.: Наука.

Тағы қараңыз

• Дифференциалдық есептеу