Жетінші дәрежелі теңдеу

7 нақты нөлі және 6 критикалық нүктесі бар жетінші дәрежелі көпмүшенің графигі.

Жетінші дәрежелі теңдеу немесе жетінші дәрежелі алгебралық теңдеу — ең жоғары дәрежесі 7-ге тең болатын алгебралық теңдеу. Мұндай теңдеу бір айнымалының жетінші дәрежелі көпмүшесін нөлге теңестіру арқылы беріледі. Жалпы түрі:

$ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\qquad a\neq 0.$

Мұндағы $a,b,c,d,e,f,g,h$ — теңдеудің коэффициенттері. Олар бүтін сандар, рационал сандар, нақты сандар, комплекс сандар немесе жалпы жағдайда белгілі бір өрістің не сақинаның элементтері болуы мүмкін.

Ағылшын тіліндегі математикалық әдебиетте жетінші дәрежелі теңдеу septic equation деп аталады. Қазақ тілінде ең табиғи атауы — жетінші дәрежелі теңдеу.

Жалпы сипаттамасы

Жетінші дәрежелі функция мына түрде жазылады:

$f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h,\qquad a\neq 0.$

Теңдеу осы функцияны нөлге теңестіру арқылы алынады:

$f(x)=0.$

Егер $a=0$ болса, онда көпмүшенің дәрежесі төмендейді: $b\neq 0$ болғанда ол алтыншы дәрежелі, $b=0,\ c\neq 0$ болғанда бесінші дәрежелі теңдеуге және сол сияқты төменгі дәрежелі теңдеулерге айналады.

Алгебраның негізгі теоремасы бойынша комплекс сандар өрісінде жетінші дәрежелі теңдеудің, еселіктерімен қоса есептегенде, дәл жеті түбірі болады. Нақты коэффициенттері бар жағдайда нақты түбірлердің саны тақ болады: қарапайым жағдайда теңдеу 1, 3, 5 немесе 7 нақты түбірге ие болуы мүмкін. Қалған түбірлер нақты емес комплекс түбірлер түрінде жұп-жұбымен пайда болады.

Графигінің қасиеттері

Жетінші дәрежелі функция тақ дәрежелі болғандықтан, оның графигі жалпы пішіні жағынан кубтық функция мен бесінші дәрежелі функция графиктеріне ұқсайды. Бірақ жетінші дәрежелі функцияда қосымша жергілікті максимумдар мен минимумдар болуы мүмкін.

Оның туындысы, әдетте, алтыншы дәрежелі функция болады:

$f'(x)=7ax^{6}+6bx^{5}+5cx^{4}+4dx^{3}+3ex^{2}+2fx+g.$

Сондықтан нақты сандар өрісінде жетінші дәрежелі функцияның графигінде ең көбі алты критикалық нүкте болуы мүмкін. Олар, мысалы, үш жергілікті максимум және үш жергілікті минимум түрінде орналасуы ықтимал.

Жетекші коэффициенттің таңбасына қарай графиктің шеткі мінез-құлқы өзгереді:

• егер $a>0$ болса, онда $x\to -\infty$ кезінде $f(x)\to -\infty$, ал $x\to +\infty$ кезінде $f(x)\to +\infty$;
• егер $a<0$ болса, онда $x\to -\infty$ кезінде $f(x)\to +\infty$, ал $x\to +\infty$ кезінде $f(x)\to -\infty$.

Осы себепті нақты коэффициенттері бар жетінші дәрежелі көпмүшенің кем дегенде бір нақты түбірі болады.

Радикалдар арқылы шешілуі

Екінші, үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер үшін радикалдар арқылы берілетін жалпы формулалар бар. Бірақ бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулер үшін мұндай жалпы формула жоқ. Бұл нәтиже Абель — Руффини теоремасымен байланысты.

Сондықтан жетінші дәрежелі теңдеу жалпы жағдайда радикалдар арқылы шешілмейді. Алайда кейбір дербес жетінші дәрежелі теңдеулер көбейткіштерге жіктеу, айнымалыны алмастыру немесе арнайы құрылымы арқылы радикалдармен шешілуі мүмкін. Мұндай теңдеулердің шешілуі Галуа теориясы арқылы зерттеледі.

Шешілетін жетінші дәрежелі теңдеулер

Кейбір жетінші дәрежелі теңдеулер радикалдар арқылы шешіледі. Мысалы, де Муавр типіндегі шешілетін бесінші дәрежелі теңдеудің жалпылауы ретінде мына жетінші дәрежелі теңдеу қарастырылады:

$x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0.$

Бұл теңдеу қосымша квадрат теңдеумен байланыстырылады:

$y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0.$

Мұндай құрылымда теңдеу $x=u+v$, $uv+\alpha =0$ және $u^{7}+v^{7}+\beta =0$ қатынастары арқылы алынуы мүмкін. Егер $y_{1}$ және $y_{2}$ қосымша квадрат теңдеудің түбірлері болса, онда жеті түбірдің түрі былай жазылады:

$x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}},$

мұндағы $\omega _{k}$ — бірліктің жетінші дәрежелі түбірлерінің бірі. Бұл жағдайда теңдеудің Галуа тобы 42 ретті максималды шешілетін топ болады.

Тағы бір шешілетін отбасы мына түрде беріледі:

$x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0.$

Оның дискриминанты:

$\Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}.$

Бұл отбасының Галуа тобы 14 ретті диэдрлік топ болып табылады.

Галуа топтары

Жетінші дәрежелі теңдеулердің шешілу мәселесінде Галуа тобы маңызды рөл атқарады. Жалпы жағдайда жетінші дәрежелі теңдеудің Галуа тобы түбірлердің орын алмастыруларын сипаттайды.

Радикалдар арқылы шешілетін жетінші дәрежелі теңдеулердің Галуа тобы мына топтардың біріне жатуы мүмкін:

• 7 ретті циклдік топ;
• 14 ретті диэдрлік топ;
• 21 немесе 42 ретті метациклдік топ.

Бұлардан басқа, жетінші дәрежелі теңдеулерде 168 ретті $L(3,2)$ тобы кездеседі. Бұл топ Фано жазықтығының жеті нүктесі мен жеті «түзуін» сақтайтын орын алмастырулармен байланысты. Мұндай Галуа тобы бар теңдеулерді шешу үшін эллиптикалық функциялар қажет болуы мүмкін.

Жалпы жағдайда жетінші дәрежелі теңдеудің Галуа тобы 2520 ретті айнымалы топ $A_{7}$ немесе 5040 ретті симметриялық топ $S_{7}$ болуы мүмкін. Мұндай теңдеулерді шешу үшін гиперэллиптикалық функциялар және үшінші тектегі тета-функциялар қолданылады.

Гильберттің он үшінші проблемасымен байланысы

Жетінші дәрежелі теңдеулер Гильберттің он үшінші проблемасымен тығыз байланысты. Бұл проблема бірнеше айнымалы функцияларды екі айнымалы функциялардың суперпозициясы арқылы өрнектеу мүмкіндігіне қатысты қойылған.

Жетінші дәрежелі теңдеулер — шешімдерін екі айнымалының үздіксіз функцияларының суперпозициясы арқылы алуға болатыны бірден айқын емес ең төменгі дәрежелі теңдеулердің бірі. 1957 жылы Андрей Колмогоров пен Владимир Арнольд кез келген көп айнымалы үздіксіз функцияны бір және екі айнымалы үздіксіз функциялардың суперпозициясы арқылы көрсетуге болатынын дәлелдеді.

Алайда Арнольдтің пікірінше, Гильберт проблемасының тереңірек мәні жетінші дәрежелі теңдеулердің шешімдерін екі айнымалының алгебралық функциялары арқылы көрсету мүмкіндігіне қатысты. Бұл сұрақ қазіргі математикада толық шешілген мәселе ретінде қарастырылмайды.

Геометриялық қолданылуы

Жетінші дәрежелі теңдеулер геометрияда да пайда болады. Мысалы, шеңберге іштей сызылған бесбұрыштың ауданының квадраты кейбір жетінші дәрежелі теңдеудің түбірі болады. Бұл теңдеудің коэффициенттері бесбұрыш қабырғаларының симметриялық функциялары арқылы өрнектеледі.

Ұқсас қасиет шеңберге іштей сызылған алтыбұрыш үшін де орындалады: оның ауданының квадраты да қабырғалары арқылы анықталатын жетінші дәрежелі теңдеудің түбірі болуы мүмкін.

Мысалдар

Қарапайым жетінші дәрежелі теңдеудің мысалы:

$x^{7}-1=0.$

Бұл теңдеудің бір нақты түбірі бар:

$x=1.$

Комплекс сандар өрісінде оның жеті түбірі болады. Олар бірліктің жетінші дәрежелі түбірлері:

$x_{k}=e^{2\pi ik/7},\qquad k=0,1,2,3,4,5,6.$

Тағы бір мысал:

$x^{7}-x=0.$

Бұл теңдеу былай жіктеледі:

$x(x^{6}-1)=0.$

Осыдан нақты түбірлер:

$x=-1,\quad x=0,\quad x=1.$

Қалған түбірлер комплекс түбірлер болады.

Тағы қараңыз

• Алгебралық теңдеу
• Көпмүше
• Сызықтық теңдеу
• Квадрат теңдеу
• Кубтық теңдеу
• Төртінші дәрежелі теңдеу
• Бесінші дәрежелі теңдеу
• Алтыншы дәрежелі теңдеу
• Абель — Руффини теоремасы
• Галуа теориясы
• Галуа тобы
• Гильберттің он үшінші проблемасы
• Фано жазықтығы
• Эллиптикалық функция
• Гиперэллиптикалық функция

Сыртқы сілтемелер

• A Database for Number Fields: Galois groups of degree 7 — Галуа топтары жөніндегі дерекқор.
• Cyclic Pentagon — Wolfram MathWorld.
• Cyclic Hexagon — Wolfram MathWorld.
• V. I. Arnold, From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems.