Йенсен теңсіздігі

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Йенсен теңсіздігі дөңес функция графигінің қиюшысы графиктен жоғары жатады деген ақиқаттың жалпыламасы болып табылады.


Йе́нсен теңсіздігідөңес функция анықтамаларымен тығыз байланыстағы Иоган Йенсен енгізген теңсіздік.

Шекті жағдайдағы тұжырымдамасы[өңдеу]

Функция белгілі бір аралықта дөңес болсын және сандары үшін және болсын. Онда сандарының аралығында кез келген мәндері үшін мына теңдік орындалады:

немесе

.

Ескерту:

  • Егер функциясы ойыс(жоғарға дөңес), онда теңсіздік белгісі керісінше болады.
  • Иоган Йенсен өзі ең жеке жағдайдан, дәлірек айтқанда
, бұл мына жағдайға сәйкес келеді .

Дәлелдеу[өңдеу]

Математикалық индукция тәсілімен дәлелдейік.

  • жағдайында неңсіздік дөңес функция анықтамасынан шығады.
  • Жорамал: теңсіздік қандай да бір натурал сан үшін орындалсын, сонда ол үшін де орындалатынын дәлелдейік, яғни
.

Осы мақсатпен сол жақтағы соңғы екі қосылғышты бір қосылғышпен алмастырайық

;

бұл жағдайындағы теңсіздікті пайдалануға мүмкіндік береді, яғни жоғарыдағы қосынды мына қосындыдан аспайды

.

Функция мәніне соңғы қосылғышқа үшін теңсіздікті пайдалану ғана қалды. Осылайша математикалық индукция тәсілі бойынша Йенсен теңсіздігі толықтай дәлелденді.

Жеке түрлері немесе салдары[өңдеу]

Гёльдер теңсіздігі[өңдеу]

  • болсын, мұндағы (дөңес функция). Онда
,      және

деп белгілейңк, мұндағы - кез келген оң сандар, онда тогда теңсіздік былай жазыла алады

.

Мұнда мынаған ал мынаған алмастырсақ, белгілі Гёльдер теңсіздігін шығарамыз:

.

Коши теңсіздігі[өңдеу]

  • (ойыс функция) болсын. Онда
, немесе , онда .

Жеке түрі болғанда Коши теңсіздігі шығады (геометриялық орташа арифметикалық орташадан аспайды)

Гармоникалық орташа мен геометриялық орташа арасындағы теңсіздік[өңдеу]

  • (дөңес функция) болсын. Онда
. қойсақ, табатынымыз
(Гармоникалық орташа геометриялық орташадан аспайды)

Гармоникалық орташа мен арифметикалық орташа арасындағы теңсіздік[өңдеу]

  • (дөңес функция) болсын. Онда

Жеке түрі болғанда шығатыны гармоникалық орташа арифметикалық орташадан аспайтыны:

Гиббс теңсіздігі[өңдеу]

Рао — Блекуэлл — Колмогоров теоремасы[өңдеу]

Интегралдық тұжырымдамасы[өңдеу]

дөңес функция және интегралданатын функциясы үшін

орындалады


Тағы қараңыз[өңдеу]