Квадраттық түбір

Нақты сандар

Барлық рационал және иррационал сандар нақты сандар жиынын құрайды.

Рационал сан

(латынша - «рационалис» - «ақылмен ойлаған», «ақылмен белгілерген») – $~{\frac {m}{n}}$ бөлшегі түрінде өрнектеле алатын сан, мұндағы $~m$ және $~n$ бүтін сандар және $~n\neq m$ (бөлшектің бөлімі нөлге тең емес!). Егер $~m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}$ теңдігі тура болса, онда $~{\frac {m_{1}}{n_{1}}}$ және $~{\frac {m_{2}}{n_{2}}}$ бөлшектері тең рационал сандар дейді.

Иррационал сан

Иррационал сан — (латынша "иррационалис" — ақылға сыйымсыз, ақылға қонбайтын, $~in(ir)$ — "емес", яғни кері мағына шығару үшін қолданылатын қосымша және "рацо" — есептеу, қатынас деген сөз) — рационал (яғни, бүтін немесе бөлшек) сан болмайтын сан. Нақты иррационал сан шектеусіз периодсыз ондық бөлшек болады.

Мысалы, $~{\sqrt {2}}=1,414213562373095...;$ $~\pi =3,141592653589793...;e=2,718281828459045...$

Иррационал сандар рационал емес алгебралық санға және трансценденттік санға ажыратылады.

Кез келген шексіз периодты емес ондық бөлшек иррационал сан деп аталады.

Көбейтудің дербес жағдайы санды дәрежеге шығару амалы дәреже көрсеткіші бөлшек сан болғанда орындала бермейтіні белгілі. Мұның ең қарапайым түрі — рационал санның квадраты емес оң саннан квадраттық түбір табу, немесе $~x^{2}=a(a>0)$ теңдеуін жалпы түрде шешу рационал сандар жиынында мүмкін болмады. Мысалы, $~x^{2}=2$ теңдеуінің түбірлері ($~y=x^{2}$ параболасы мен $~y=2$ түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары) $~x_{1}=-{\sqrt {2}}$ және $~x_{2}={\sqrt {2}}$ рационал сандар емес, иррационал сандар.

Квадрат түбірдің анықтамасы

Мысалы, егер кез келген $~a$ санына $~b$ санын қосып, одан кейін $~b$ санын азайтсақ $~((a+b)-b=a)$, онда $~a$ саны езгеріссіз қалады немесе амалдардың ретін ауыстырсақ, $~(a-b)+b=a$ аламыз. Тура осылай, өзара кері көбейту және бөлу амалдарының дұрыс орындалғанын тексеруге болады, яғни $~(ab):b=a$ немесе $~(a:b)\cdot b=a$, мұндағы $~b\neq 0.$ Сонда "Дәрежеге шығару амалына кері амал бар ма?" деген сұрақ туындайды. $~3^{2}=9$ екені белгілі. Бұл жазудағы $~3^{2}$ — дәреже, $~3$ — дәреженің негізі, $~2$ — дәреженің көрсеткіші. Мұнда санның негізі $~(3)$ жөне көрсеткіші $~(2$) арқылы дәреженің мәні $~(9)$ есептелген. Ал берілген дәреженің мәні мен көрсеткіші бойынша дәреженің негізін табуды түбір шығару деп атайды.

Теріс емес $~a$ санының квадрат түбірі деп квадраты $~a$-ға тең $~b$ санын атайды.

Мысалы, $~64$ санының квадрат түбірі $~8$ және $~-8$, өйткені $~8^{2}=64$ және $~(-8)^{2}=64.$

Түбірдің оң мәнін арифметикалық квадрат түбір деп атайды.

Қарастырылған мысалда $~8$ саны арифметикалық квадрат түбірді береді.

Квадраты $~a$-ға тең кез келген теріс емес $~b$ саны теріс емес $~a$ санының арифметпикалық квадрат түбірі деп аталады.

$~a$ санынан алынған арифметикальқ квадрат түбір $~{\sqrt {a}}$ деп белгіленеді. Мұндағы $~{\sqrt {}}$ таңбасы арифметикалык квадрат түбірдің белгісі немесе радикал, $~a$ — түбір белгісінің ішіндегі өрнек.

$~{\sqrt {a}}$ өрнегі "$~a$ санының арифметикальқ квадрат түбірі" деп оқылады.

Арифметикалық квадрат түбірдің анықтамасы бойынша: $~{\sqrt {a}}=b$ теңдігі $a=b^{2},a\geq 0,b\geq 0$ болғанда орындалады.

Квадрат түбірдің жуық мәндері

Енді квадрат түбірдің жуық мәнін табуды карастырайық. Кез келген оң иррационал $~\alpha =0,345345534555...$ шексіз периодты емес ондық бөлшек сан берілсін.

Берілген сандағы алғашкы ондық таңбаны қалдырайық. Сонда шыққан $~0,3$ бөлшегін $~0,1$ дәлдікпен кемімен алынған $~\alpha$. санының рационал жуықтауы деп атаймыз; тура осылай $~0,34$ бөлшегін $~0,01$ дөлдікпен кемімен алынған а санының рационал жуықтауы дейміз; $~0,345$ бөлшегі $~0,001$ дәлдікпен кемімен алынған а санының рационал жуықтауы және т. с. с.

Осылайша $~\alpha$ санының $~0,1$ дәлдікпен; $~0,01$ дәлдікпен; $~0,001$ дәлдікпен және т. с. с. артығымен алынған а санының рационал жуықтауын жазуға болады. Олар сәйкесінше $~0,4;0,35;0,346$ және т.с.с.

Кез келген $~\alpha$ нақты саны оның кемімен алынған рационал жуықтауынан үлкен, бірақ артығымен алынған рационал жуықтауынан кіші. Сонда $~\alpha$ нақты санының ондық жуықтауларын келесі түрде жазуға болады:

$~0,3<\alpha <0,4$

$~0,34<\alpha <0,35$

$~0,345<\alpha <0,346$

$~0,3453<\alpha <0,3454$

$~0,34534<\alpha <0,34535$

$~..........................................$

Кез келген оң нақты санның ондық жуықтауы (кемімен және артығымен алынған) қалай кұрастырылатынын көрсеттік.

Квадрат түбірдің мәнін калькулятордың көмегімен есептеуге болады. Ол үшін сәйкес сан теріліп, одан кейін $~{\sqrt {}}$ белгісін басу керек.

Мысалы, калькулятордың көмегімен $~{\sqrt {2}}=1,41421...$ екенін аламыз. Енді $~{\sqrt {2}}$ квадрат түбірінің ондық жуықтауларын жазайық:

$~1<{\sqrt {2}}<2$

$~1,4<{\sqrt {2}}<1,5$

$~1,41<{\sqrt {2}}<1,42$

$~1,414<{\sqrt {2}}<1,415$

Бұл процесті жалғастырып, $~{\sqrt {2}}$-нің кез келген дәлдікпен алынған мәнін табуға болады.

Арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттері

1-теорема. Егер $~a\geq 0$ және $~b\geq 0$ болса, онда

$~{\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$

(көбейтіндіден арифметикалық квадрат түбір табу үшін әрбір көбейткіштен жеке түбір тауып, нәтижелерін көбейту керек).

Дәлелдеуі. $~{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ өрнегі ab өрнегінің квадрат түбірі болу үшін арифметикалық түбірдің анықтамасына сәйкес

1. $~{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}\geq 0;$
2. $~{\big (}{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}{\big )}^{2}=ab$ шарттары орындалу керек. Берілуі бойынша $~a$ және $~b$ теріс емес сандар. Демек, ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ өрнегінің мағынасы бар және ${\sqrt {a}}$ мен $~{\sqrt {b}}$ мәндері теріс емес болғандықтан, $~{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}\geq 0$. Көбейтіндіні дәрежеге шығару қасиетін қолдансак, онда $~{\big (}{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}{\big )}^{2}={\big (}{\sqrt {a}}{\big )}^{2}\cdot {\big (}{\sqrt {b}}{\big )}^{2}=ab$ аламыз.

1-теорема. Бірнеше теріс емес көбейткіштер үшін де орындалады. Мысалы, $~{\sqrt {abc}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {c}},$ мұндағы $~a>0,b>0,c>0$.

2-теорема. Егер $~a\geq 0$ және $~b>0$ болса, онда $~{\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$

3-теорема. Кез келген х үшін теңдігі орындалады. $~{\sqrt {x^{2}}}=\mid x\mid$

$~y={\sqrt {x}}$ Функциясының қасиеттері:

Функция қасиеттері

1) анықталу облысы теріс емес сандар, себебі $~x\geq 0$;

2) функцияның графигі координаталар басы арқылы өтеді, өйткені $~x=0$ болғанда, $~y=0;$

3) $~y={\sqrt {x}}$ функциясының графигі координаталық жазыктықтың I ширегінде орналасқан, өйткені арифметикалык түбірдің аньқтамасы бойынша $~x$ және $~y$ айнымалыларының мәндері теріс емес сандар;

4) функция өзінің анықталу облысында есейеді, өйткені аргументтің үлкен мөніне функцияның үлкен мәні, аргументтің кіші мәніне функцияның кіші мәні сөйкес. Мысалы, $~x=4$ болғанда, $~y=2;x=9$ болғанда, $~y=3$ және т.с.с.

$~x\geq 0$ болғанда, $~y={\sqrt {x}}$ функциясының графигі $~y=x^{2}$ функциясының графигі сияқты I ширекте орналасқан және ол графиктер $~y=x$ түзуіне қарағанда симметриялы. Егер $~M(a;b)$

үктесі $~y=x^{2}$ функциясының графигіне тиісті болса, онда осы нүктеге $~y=x$ түзуіне қарағанда симметриялы $~N(b;a)$ нүктесі $~y={\sqrt {x}}$ функциясының графигіне тиісті болады.

Санның жуық квадраттық түбірін табу алгоритімдері

Кестені пайдалану. Шығару амалы

Брадистің төрт таңбалы кестелерінде 22 кесте бар, солардың бірі — 4-кесте — саннан квадраттық түбір табу. Кестенің кішкене бөлігі келтірілген. Бұл кестеде 1-ден 100-ге дейінгі сандар түбірлерінің жуық мәндері берілген.

Кестедегі квадраттық түбірлер жуық мәндерінің абсолюттік қателігі жазылған жуық мәннің ақырғы разряд бірлігінің жарымынан артпайды, яғни 0,0005 дәлдікпен алынған.

Квадраттық түбірлер кестесі. Түзетулер

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
5,0	2,236	2,238	2,241	2,243	2,245	2,247	2,249	2,252	2,254	2,256	0	0	1	1	1	1	2	2	2
5,1	2,258	2,261	2,263	2,265	2,267	2,269	2,272	2,274	2,276	2,278	0	0	1	1	1	1	2	2	2
5,2	2,280	2,283	2,285	2,287	2,289	2,291	2,293	2,296	2,298	2,300	0	0	1	1	1	1	2	2	2
5,3	2,302	2,304	2,307	2,309	2,311	2,313	2,315	2,317	2,319	2,322	0	0	1	1	1	1	2	2	2
5,4	2,324	2,326	2,328	2,330	2,332	2,335	2,337	2,339	2,341	2,343	0	0	1	1	1	1	1	2	2

Мысалдар қарастырайық.

Бірінші $~1$ мен $~100$ аралығындағы саннан квадраттық түбірлер табуды көрсетеміз.$~:{\sqrt {5}},{\sqrt {5.2}},{\sqrt {5.25}},{\sqrt {5.256}},{\sqrt {5.2567}},...$ саңдарының жуық мәндерін табу үшін $~{\sqrt {5,00}},{\sqrt {5.20}}$ деп жазып, санның бірінші екі таңбасын құрайтын санды $~N$-бағанда тауып, оны үшінші таңба тұрған бағанмен қиылыстырамыз.

$~5,0$ мен $~0$-баған қиылысында $~2,236$ тұр, яғни $~{\sqrt {5.00}}\cong 2.236;5,2$ мен $~0$-баған қиылысында $~2,280$ тұр, сонда $~{\sqrt {5.20}}\cong 2.280;5,$$~2$ мен $~5$-баған қиылысында $~2,291$ тұр, сонда $~{\sqrt {5.25}}\cong 2,291.$

Төрт сан болғанда соңғы цифрға тузетуді (түзету екі сан болса, соңғы екі цифрға) қосады: $~{\sqrt {5.256}}\cong 2,291_{1}\cong 2,292$ ($~1$-тузетудің $~6$-бағанындағы сан: $~2,291+0,001=2,292$).

$~5,6,7$, т.с.с. орынды сан болғанда, оларды алдын ала торт таңбаға дейін дөңгелектеп, содан кейін кестедегі мәні ізделінеді:

$~{\sqrt {5.2567}}\cong {\sqrt {5.257}}\cong 2,293.$

Сан $~1$-ден кіші немесе $~100$-ден үлкен болғанда, оны алдымен $~a\cdot 10^{2n}$ түріне келтіреді де, кебейтіндіден квадраттық түбір табады (мұндағы $~1\leq a\leq 100n$ — бүтін сан).

$~{\sqrt {x}}={\sqrt {a10^{2n}}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {10^{2n}}}={\sqrt {a}}\cdot 10^{n}({\sqrt {a}}$ кестеден алынып, $~10^{n}$-не көбейтіледі).

Мысалдар қарастырайық:

$~{\sqrt {525}}={\sqrt {5.25\cdot 10^{2}}}={\sqrt {5.25}}\cdot 10\cong 2.291\cdot 10=22.91;$

$~{\sqrt {52567}}={\sqrt {5.257\cdot 10^{4}}}={\sqrt {5.257}}\cdot {\sqrt {10^{4}}}\cong 2.292\cdot 10^{2}=229.2;$

Формула арқылы

1) Сан онша үлкен болмағанда ертедегі вавилондықтар қолданған әдісті пайдалануға болады.

$~{\sqrt {x}}={\sqrt {a^{2}+b}}=a+{\frac {b}{2a}}$ , мұнда $~b$ саны $~a$ санына қарағанда неғұрлым кіші болса, түбірдің мәні де соғұрлым дәлірек болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-м ы с а л .$~{\sqrt {80}}$ өрнегінің $~0,001-$ге дейінгі дәлдікте мәнін табайық.

$~{\sqrt {80}}={\sqrt {9^{2}-1}}\cong 9-{\frac {1}{18}}\cong 8.945$ $~(0,001$ дәлдік$~);$ $~8,945^{2}\cong 80.01.$

2-м ы с а л . $~{\sqrt {5}}$ өрнегінің $~0,001$-ге дейінгі дәлдікте мәнін табайық. $~5$-ке ең жақын квадрат $~2,2^{2}:2,2^{2}=4,84$ болғандықтан,

$~{\sqrt {5}}={\sqrt {2.2^{2}+0.16}}\cong 2.2+{\frac {0.16}{2\cdot 2.2}}\cong 2.236$

Бұл төрт таңбалы кестелердегі мәнімен бірдей: $~2,236^{2}\cong 5.$

Геометриялық жолмен табу

$|BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}$

Егер $\!|AH|=1$, а $\!|HC|=x$, онда $|BH|={\sqrt {x}}$

Итерационалді аналитикалық алгоритм

${\begin{cases}x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\\x_{0}=a\end{cases}}$

онда $\lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}$

Тейлор қатарымен жікеу

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,\!$ при $|x|\leq 1$.