Квадраттық қалыңды

Квадраттық қалыңды, m модулі бойынша – x2a (mod m) салыстыруының шешімі болатын а саны, басқаша айтқанда, х қандай да бір бүтін сан болса, онда x2–a саны m-ге бөлінеді. Егер бұл салыстырудың шешімі болмаса, онда а саны m модулі бойынша квадраттық қалыңды емес деп аталады. Мысалы, егер m=11 болса, a=3 саны m модулі бойынша квадраттық қалыңды болады, өйткені x=5 және x=6 сандары x23 (mod 11) салыстыруының шешімдері. Ал a=2 саны m=11 модулі бойынша квадраттық қалыңды емес, өйткені x22 (mod 11) салыстыруын қанағаттандыратын х саны жоқ. Квадраттық қалыңды n дәрежелі қалыңдылардың n=2 болған жағдайдағы дербес түрі болып есептеледі. Егер m модулі p жай тақ санға тең болса, онда 1, 2, ... , p–1 сандарының арасында квадраттық қалыңдылар және квадраттық қалыңды еместер болады. р жай модулі бойынша квадраттық қалыңдыны зерттеу үшін Лежандр символы пайдаланылады. Егер а және р өзара жай сандар болса, онда а квадраттық қалыңды болғанда: деп, ал а квадраттық қалыңды емес болғанда: деп ұйғарылады. Бұл жағдайда квадраттық қалыңдының өзаралық заңы негізгі теорема болып есептеледі, басқаша айтқанда, егер р және q – жай тақ сандар болса, онда: . Бұл заңдылықты Л.Эйлер ашқан (шамамен 1772), ал оның қазіргі тұжырымдамасын француз математигі А.Лежандр (1752 – 1833) берсе (1798), толық дәлелдемесін алғаш рет К.Гаусс (1801) берген. Лежандр символының қолайлы жалпыламасы Якоби символы болып есептеледі. Квадраттық қалыңдының өзаралық заңы алгебралық сандар теориясында кеңінен қолданылды.