Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Кері тригонометриялық функциялар (аркфункциялар ; лат. arc — доға) — тригонометриялық функцияларға кері функциялар . Керi тригонометриялық функцияларға алты функция жатады (әр тригонометриялық функцияларға сәйкес ).
арксинус (белгіленуі:
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
)
арккосинус (белгіленуі:
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
)
арктангенс (белгіленуі:
arctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} x}
; шетелдiк әдебиеттерде
arctan
x
{\displaystyle \arctan x}
)
арккотангенс (белгіленуі:
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x}
; шетелдiк әдебиеттерде
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x}
немес
arccotan
x
{\displaystyle \operatorname {arccotan} x}
)
арксеканс (белгіленуі:
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x}
)
арккосеканс (белгіленуі:
arccosec
x
{\displaystyle \operatorname {arccosec} x}
; шетелдiк әдебиеттерде
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x}
)
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}
arctg
x
+
arcctg
x
=
π
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arcctg} x={\frac {\pi }{2}}}
y
=
arcsin
x
{\displaystyle ~y=\arcsin x}
фунциясының графигі.
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
өспелі функция болып табылады.
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }
, егер
−
1
⩽
x
⩽
1
,
{\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}
arcsin
(
sin
y
)
=
y
{\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }
, егер
−
π
2
⩽
y
⩽
π
2
,
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},}
D
(
arcsin
x
)
=
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }
(анықталу облысы),
E
(
arcsin
x
)
=
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }
(мәндер облысы).
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }
(тақ функция).
arcsin
x
>
0
{\displaystyle \arcsin x>0\,}
, егер
0
<
x
⩽
1.
{\displaystyle 0<x\leqslant 1.}
arcsin
x
=
0
{\displaystyle \arcsin x=0\,}
, егер
x
=
0.
{\displaystyle ~x=0.}
arcsin
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x<0\,}
, егер
−
1
⩽
x
<
0.
{\displaystyle -1\leqslant x<0.}
arcsin
x
=
{
arccos
1
−
x
2
,
0
⩽
x
⩽
1
−
arccos
1
−
x
2
,
−
1
⩽
x
⩽
0
{\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.}
arcsin
x
=
arctg
x
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
x
=
{
arcctg
1
−
x
2
x
,
0
<
x
⩽
1
−
arcctg
1
−
x
2
x
−
π
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\-\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
y
=
arccos
x
{\displaystyle ~y=\arccos x}
фунциясының графигі.
Арккосинус - косинуске Kepi функция . Арккосинус Arccos z деп белгіленеді. Арккосинус - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккосинус логарифм және квадрат түбір арқылы мына
Arccos z =
1
i
Ln
(
z
+
z
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{i}}\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}
[ 1]
y
=
arctg
x
{\displaystyle ~y=\operatorname {arctg} \,x}
фунциясының графигі.
Арктангенс - тангенске Kepi функция . Арктангенс Arctg z деп белгіленеді. Арктангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арктангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:
Arctg z =
1
2
i
Ln
1
+
i
z
1
−
i
z
{\displaystyle {\frac {1}{2i}}\operatorname {Ln} {\frac {1+iz}{1-iz}}}
[ 1]
y
=
arcctg
x
{\displaystyle ~y=\operatorname {arcctg} \,x}
фунциясының графигі.
Арккотангенс - котангенске кері функция. Арккотангенс Arcctg z - деп белгіленеді. Арккотангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция . Арккотангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:
Arcctg z =
1
2
i
Ln
z
+
i
z
−
i
{\displaystyle {\frac {1}{2i}}\operatorname {Ln} {\frac {z+i}{z-i}}}
[ 1]
arcsec
(
x
)
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)\,}
Арксеканс - секанске кері функция. Арксеканс Arcsec z деп белгіленеді. Арксеканс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция . Арксеканс логарифм және квадрат түбір арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:
Arcsec z =
1
i
Ln
(
1
z
+
1
z
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{i}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z^{2}-1}}\right)}
[ 1]
arccosec
(
x
)
=
arcsin
(
1
x
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(x)\,=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)\,}
Арккосеканс - косеканске кері функция . Арккосеканс Arccosec z деп белгіленеді. Арккосеканс көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. z-тің нақты мәндерінде Арккосеканс [-π/2;π/2] аралығында жататын бірмәнді тармағы арккосеканс бас мәні деп аталады. Логарифмдік функция арқылы Арккосеканс мына формула арқылы өрнектеледі:
Arccosec z =
1
i
Ln
(
1
z
+
1
−
1
z
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{i}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)}
[ 1]
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle (\arccos x)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
(
arctg
x
)
′
=
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle (\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}
(
arcctg
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle (\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}
Нақты және комплексті x үшін:
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
,
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
,
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcctg
x
d
x
=
x
arcctg
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}
Нақты x ≥ 1 үшін:
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}
↑ a b c d e Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Математика / 0-71 Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д., профессор Е. Арын — Павлодар: «ЭКО» ҒӨФ. 2007 жыл. - 192 б. ISBN 9965-08-339-8