Коллатц гипотезасы

Бағытталған график — Коллатц картасы бойынша кіші сандардың орбиталарын көрсетеді, жұп сандар өткізіледі. Коллатц гипотезасына сәйкес барлық жолдар ақырында 1-ге жеткізеді.

Коллатц гипотезасы (ағылш. Collatz conjecture), кейде 3n+1 мәселесі немесе Сиракуз реттілігі деп аталады, кез келген натурал саннан бастап келесі ережеге сәйкес сандар тізбегін құруға негізделген математикалық гипотеза: Егер ағымдағы сан тақ болса, келесі санды есептеу: $3n+1$ Егер сан жұп болса, келесі санды есептеу: $n/2$

Гипотезаның негізгі сұрағы: кез келген бастапқы саннан басталса да, реттілік соңында 1-ге дейін төмендей ме?

Тарихы

Гипотеза неміс математигі Лотар Коллатц атымен аталған және алғаш рет 1932 жылы ұсынылған. Ол өзінің қарапайым ережелерімен құрылған сандар тізбегі әрқашан 1-ге жетеді ме деген сұрақты қарастырған.

Сипаттамасы

Берілген натурал сан $n_{0}$ үшін реттілік:

$n_{i+1}={\begin{cases}3n_{i}+1,&{\text{егер }}n_{i}{\text{ тақ болса;}}\\n_{i}/2,&{\text{егер }}n_{i}{\text{ жұп болса.}}\end{cases}}$

Мысалы:

Бастапқы сан 6 болса: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 Бастапқы сан 11 болса: 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Алғашқы сандар үшін реттіліктер

Бастапқы сан 27 үшін реттілік 111 қадамнан кейін 1-ге жетеді, ең үлкен мәні 9232.

Ерекшеліктері

Гипотеза қарапайым анықтамаға ие, бірақ математикалық дәлелі әлі табылған жоқ. Сандар тізбегі ұзақ болуы мүмкін, кейде миллиардтаған қадамдарды қажет етеді.

Есептеулер мен жобалар

2009 жылы BOINC платформасында ерікті есептеулер жобасы іске қосылды. 2017 жылы «yoyo@home» жобасы аясында тексерулер жүргізілді. Соңғы жылдары барлық табиғи сандар 3×10²⁰ дейін тексерілген, олардың бәрі гипотезаны растайды.

Бейнелеу

• 
  Бастапқы 1000 санның траекторияларын көрсететін бағытталған график.
• 
  Үлгі:Mvar осі — бастапқы санды, Үлгі:Mvar осі — реттілік барысында 1-ге жеткен ең үлкен санды көрсетеді. Бұл график Үлгі:Mvar осінің шектеулі екенін көрсетеді: кейбір Үлгі:Mvar мәндері дейінгі аралық мәндер береді (x = 9663 үшін).
• 
  Алдыңғы графиктің логарифмдік масштабтағы көрінісі, сондықтан барлық Үлгі:Mvar мәндері көрсетіледі. Графиктің ортасына жақын қалың сызық 27 санына сәйкес келеді, оның ең үлкен мәні 9232-ге жетеді.
• 
  20 қадамнан аз реттіліктерге арналған барлық сандардың ағаштық көрінісі.
• 
  Алғашқы 100 миллион сан үшін 1-ге жету үшін қажет итерациялар саны.
• 
  1 миллионнан аз 5000 кездейсоқ бастапқы нүктеге арналған Коллатц гипотезасының жолдары.