Морлей теоремасы

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Morley triangle.png

Морлей теоремасы - кез келген үшбұрыштың сыбайлас трисектрисаларының қиылысу нүктесі - тең қабырғалы үшбұрыштың төбелері болады. Теореманы 1899 жылы американ математигі Френк Морлей (1860 - 1937) дәлелдеген.[1]

Дәлелдеуі[өңдеу]

Морлей теоремасының қарапайым дәлелдеуі

Оның бірнеше дәлелдеуі бар. Солардың қарапайым түрі келесі тригонометриялық өрнекке негізделген

sin 3θ ≡ 4 sin θ sin(60°+θ) sin(120°+θ).

D,E,F нүктелері BC қабырғасында көрсетілгендей алынған. Сондағы α+β+γ = 60° екені анық, сондықтан ∠CYA = 120°+β және ΔXEF бұрыштары - α, 60°+β, 60°+γ. Сонда sin(60°+β) = DX/XE және AC/sin(120°+β) = AY/sin γ синустар ережесі бойынша, осылайша ΔABC биіктігі h мынадай болады

h = AB sin 3β = 4AB.AC.DX sin β sin γ / (XE.AY)
  = AC sin 3γ = 4AC.AB.DX sin γ sin β / (XF.AZ).

Алымдары тең болғандықтан XE.AY = XF.AZ. Ал ∠EXF = ∠ZAY және осы бұрыштар қабырғалары қатынасы бірдей (себебі XE/XF = AZ/AY) болғандықтан XEF пен AZY ұқсас үшбұрыштар болып келеді. Осылайша ΔAZY негізіндегі бұрыштары 60°+β және 60°+γ. Дәл осылайша ΔBXZ пен ΔCYX бұрыштары мен суреттегі барлық бұрыштар оңай анықталады.

Дереккөздер[өңдеу]

  1. "Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X