Сфералық функциялар

Сфералық функциялар – сфералық беттермен шектелген кеңістіктегі физикалық құбылыстарды зерттеуде және сфералық симметрия сипаты бар физикалық есептерді шешуде қолданылатын арнайы функциялар. Сфералық функциялар математика физика және механиканың потенциалдар теориясында қолданылады. Сфералық функцияларды А.Лежандр мен П.Лаплас 18 ғасырдың соңында енгізді.

Анықтама

Нақты сфералық функциялар Y_lm, l=0…4 (жоғарыдан төмен), m=0…4 (солдан оңға). Теріс ретті Y_l-m функциялар Z осі бойынша 90/m градусқа оң ретті фнукцияларға қатысты бұралған.

Сфералық функциялар сфералық координаттар жүйесіндегі ($Y_{lm}(\theta ,\varphi )$ деп белгіленетін)Лаплас операторының өзіндік функциялары болып табылады. Олар екі өлшемді сфералар кеңістігінде ортонормаланған жүйені құрайды:

$\langle Y_{lm};Y_{lm}\rangle =\iint |Y_{lm}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1$

$\langle Y_{lm};Y_{l'm'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'm'}^{*}Y_{lm}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}$,

мұндағы ^* кешендік түйіндестіру, $\delta _{ll'}$ — Кронекер нышаны.

Сфералық функциялар былай өрнектеледі

$Y_{lm}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )$,

мұндағы $\Theta _{lm}(\theta )$ функциялары

${\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{lm}=0$

теңдеулерінің шешімі болып табылады және былай өрнектеледі

$\Theta _{lm}=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )$

Мұндағы $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ — біріктірілген Лежандр көпмүшеліктері, ал $m!$ — факториал.