Тейлор қатары

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады. [1]

Анықтама[өңдеу]

нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар

функциясының нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.

Тейлор формуласы[өңдеу]

Теорема:

  • нүктесінің белгілі төңірегінде туындысы болсын
  • Пусть
  • Пусть — кез келген оң сан,

онда: үшін нүктесі немесе болғанда  :

Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары[өңдеу]

f(x) = 1/(1 + x2) функциясының Pk Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.

Экспонента:

Натурал логарифм:

барлық үшін

Биномдық жіктеу:

барлық үшін және барлық комплекс ан үшін, мұндағы

Жекеше түрі:

барлық үшін
барлық үшін
  • Шекті геометриялық қатар:
барлық үшін

Тригонометриялық функциялар:

барлық

үшін, мұндағы Бернулли сандары

барлық
барлық үшін
барлық үшін

Гиперболалық функция:

барлық үшін
барлық үшін
барлық үшін

Сілтемелер[өңдеу]

  1. «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 жыл. ISBN 5-89800-123-9, VIII том