Ферми энергиясы

Ферми энергиясы (деңгейі) ($E_{F}$) өзара әрекеттеспейтін фермиондар жүйесі — бұл бір бөлшекті қосқанда жүйенің негізгі энергия күйінің артуы. Ферми энергиясы жүйенің абсолютті нөл температурадағы негізгі күйіндегі химиялық потенциалына эквивалентті. Ферми энергиясын абсолют нөл температурадағы негізгі күйдегі фермионның максималды энергиясы ретінде де қарауға болады. Ферми энергиясы — қатты дене физикасының орталық ұғымдарының бірі.

Үш өлшемді кеңістіктегі спині 1/2 тең релятивистік емес өзара әрекеттеспейтін бөлшектер үшін

$E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},$

Атау итальяндық физик Энрико Фермидің құрметіне берілген. Мұндағы $\hbar$ — келтірілген Планк тұрақтысы, $m_{0}$ — фермионның массасы, $N/V$ — бөлшектердің концентрациясы.

Фермиондар — спині жарты бүтін, әдетте 1/2 болатын бөлшектер, мысалы электрондар — Паулидің тыйым салу принципіне бағынады, бұл принцип бойынша кванттық-механикалық жүйені (мысалы, атомды) құрайтын екі бірдей бөлшек бірдей кванттық күйде бола алмайды. Сондықтан фермиондар Ферми — Дирак статистикасына бағынады. Өзара әрекеттеспейтін фермиондардың негізгі күйі бос жүйеден бастап, бөлшектерді бір-бірлеп біртіндеп қосу арқылы, олардың энергиясының өсу ретімен күйлерді ретімен толтыру арқылы құрылады (мысалы, электрондардың атомның электронды орбитальдарын толтыруы). Бөлшектердің қажетті санына жеткенде, Ферми энергиясы ең жоғары толтырылған күйдің энергиясына тең болады (немесе ең төменгі бос күйдің энергиясына: макроскопиялық жүйе жағдайында айырмашылық маңызды емес). Сондықтан Ферми энергиясын Ферми деңгейі деп те атайды. Энергиясы Ферми энергиясына тең бөлшектер Ферми жылдамдығы деп аталатын жылдамдықпен қозғалады.

Еркін электронды газда (фермиондардың идеал газының кванттық-механикалық нұсқасы) кванттық күйлерді олардың импульсіне сәйкес белгілеуге болады. Осыған ұқсас нәрсені металдың атомдық торында қозғалатын электрондар сияқты периодтық жүйелер үшін де, квазиимпульсті (Периодтық потенциалдағы бөлшек) пайдалана отырып жасауға болады. Кез келген жағдайда Ферми энергиясы бар күйлер импульстер кеңістігіндегі бетте орналасады, ол Ферми беті ретінде белгілі. Еркін электронды газ үшін Ферми беті — сфера беті; периодтық жүйелер үшін ол жалпы алғанда бұрмаланған пішінге ие. Ферми бетінің астындағы көлем жүйедегі электрондар санын анықтайды және оның топологиясы металдардың тасымалдау қасиеттерімен, мысалы, электр өткізгіштігімен тікелей байланысты. Көптеген металдардың Ферми беттері эксперименталды және теориялық тұрғыдан жақсы зерттелген.

Нөлдік емес температурадағы Ферми деңгейі

Металдағы электрондардың маңызды жағдайы үшін барлық ақылға қонымды $T$ температураларында $kT\ll \mu$ деп санауға болады, мұндағы $\mu$ — берілген температурадағы химиялық потенциал, $k$ — Больцман тұрақтысы. Мұндай жағдайды азғындаған ферми-газ деп атайды. (Басқа шекті жағдайда $kT\gg \mu$ болғанда, ферми-газ азғындамаған деп аталады, азғындамаған ферми-газдың толтырылу сандары аз және оны классикалық Больцман статистикасымен сипаттауға болады.)

Еркін ферми-газдың Ферми энергиясы химиялық потенциалмен келесі теңдеу арқылы байланысқан

$\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],$

Сондықтан, сипатты Ферми температурасынан $E_{F}/k$ әлдеқайда төмен температураларда химиялық потенциал Ферми энергиясына шамамен тең болады. Сипатты температура металл үшін $10^{4}$ K ретінде болады, сондықтан бөлме температурасында (300 K) Ферми энергиясы мен химиялық потенциал іс жүзінде эквивалентті. Бұл өте маңызды, өйткені химиялық потенциал Ферми — Дирак үлестіріміне кіретін Ферми энергиясы болып табылмайды: $f_{FD}(E-\mu )={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}.$

$T\to 0$ температурасында және фермионның энергиясы $E$ Ферми энергиясы $E_{F}$-ге тең болғанда, Ферми-Дирак үлестірім функциясы $f_{FD}(E_{F}-\mu (T))\to {\frac {1}{2}}$ мәніне ұмтылады. $kT\ll E_{F}$ төмен температураларында $E=E_{F}$ энергетикалық күйлердің толтырылу шекарасы $kT$ ретті шамаға симметриялы түрде бұлдырайды (жуылады). Бұл ретте Ферми энергиясы бар электрондық күйлердің толтырылу ықтималдығы $f_{FD}(E_{F}-\mu )\approx 1/2$. Жоғары температурада бұлдырау симметриялы емес болады, ал химиялық потенциалдың мәні төмен энергиялар аймағына ығысады.

$kT\ll E_{F}$ жағдайында Ферми деңгейі ретінде тура жартылай толтырылған деңгейді (яғни, бөлшекмен толтырылу ықтималдығы 1/2-ге тең күй деңгейін) таңдауға болады.

Ферми энергиясы, температурасы және жылдамдығы

Элемент	Ферми энергиясы, эВ	Ферми температурасы, ×10 000 K	Ферми жылдамдығы, ×1000 км/с
Li	4,74	5,51	1,29
Na	3,24	3,77	1,07
K	2,12	2,46	0,86
Rb	1,85	2,15	0,81
Cs	1,59	1,84	0,75
Cu	7,00	8,16	1,57
Ag	5,49	6,38	1,39
Au	5,53	6,42	1,40
Be	14,3	16,6	2,25
Mg	7,08	8,23	1,58
Ca	4,69	5,44	1,28
Sr	3,93	4,57	1,18
Ba	3,64	4,23	1,13
Nb	5,32	6,18	1,37
Fe	11,1	13,0	1,98
Mn	10,9	12,7	1,96
Zn	9,47	11,0	1,83
Cd	7,47	8,68	1,62
Hg	7,13	8,29	1,58
Al	11,7	13,6	2,03
Ga	10,4	12,1	1,92
In	8,63	10,0	1,74
Tl	8,15	9,46	1,69
Sn	10,2	11,8	1,90
Pb	9,47	11,0	1,83
Bi	9,90	11,5	1,87
Sb	10,9	12,7	1,96
Ni	11,67		2,04
Cr	6,92		1,56

Ферми энергиясы мен өткізгіштік электрондар концентрациясының байланысы

Азғындаған жартылай өткізгіштердегі өткізгіштік электрондардың концентрациясы жартылай толтырылған энергетикалық зонаның шетінен Ферми деңгейіне дейінгі қашықтықпен байланысты. Бұл оң шаманы кейде еркін электронды газдың Ферми энергиясына ұқсас етіп Ферми энергиясы деп те атайды, ол белгілі болғандай оң мәнге ие.

Металдарда әдетте бірнеше жартылай толтырылған энергетикалық зоналар болады, сондықтан еркін заряд тасымалдаушылар концентрациясының Ферми деңгейінің орнына тәуелділігінің нақты түрін көрсету мүмкін емес болып табылады.