Қатысушы:Гульназ Каржаубекова
Үшбұрыш
Үшбұрыш. Сүйір бұрышты,доғал бұрышты және тік бұрышты үшбұрыш. Катет және гипотенуза. Тең бүйірлі және тең қабырғалы үшбұрыш. Үшбұрыштың негізгі қасиеттері. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы. Үшбұрыштың сырқы бұрышы. Үшбұрыштардың теңдік белгілері. Тік бұрышты үшбұрыштың теңдік белгілері. Үшбұрыштағы тамаша нүктелер және түзулер: биіктіктер, медианалар биссектрисалар, орта перпендикуляр, ортцентр, Ауырлық центрі, үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі, үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі. Пифагор теоремасы. Кезкелген үшбұрыштардағы қабырғалар арақатынастары.
Үшбұрыш – бұл үш қабырғасы бар көпбұрыш (немесе үш бұрышы бар). Үшбұрыштың қабырғалары әдетте латын алфабитінің кіші аріптерімен сол қабырғаға қарсы жатқан төбелері сол аріптердің бас аріптерімен белгіленеді.
Егер барлық бұрышы да сүйір болса ( рис.20 ), Онда бұл сүйір бұрышты үшбұрыш деп аталады. Егер бір бұрышы тік болса( C, рис.21 ), онда ол тік бұрышты үшбұрыш болады және де a, b қабырғалары каттері с гипотенуза деп аталады. Егер бір бұрышы доғал болса ( B, рис.22 ), онда ол доғал бұрышты үшбұрыш деп аталады.
ABC үшбұрышы ( рис.23 ) – теңбүйірлі деп аталады, егер оның екі қабырғасы тең болса ( a = c ); бұл тең екі қабырғасы бүйір қабырғасы деп аталады, үшінші қабырғасы үшбұрыштың табаны деп аталады. ABC үшбұрышы тең қабырғалы деп аталады егер оның барлық қабырғалары тең болса ( рис.24 ) ( a = b = c ). Жалпы жағдайда ( a ≠ b ≠c ) тең қабырғалы емес үшбұрыш аламыз.
Үшбұрыштың негізгі қасиеттері. Кез келген үшбұрышта:
1. Үлкен қабырғасына қарсы үлкен бұрыш жатады, және керісінше.
2. тең бабырғаларына қарсы тең бұрыштар жатады,және керісінше.
Тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең
3. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 º .
Соңғы екі қасиеттен тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары 60 º -қа тең екендігі шығады.
4. Үшбұрыштың бір қабырғасын созатын болсақ (AC, рис.25), сыртқы BCD бұрышын аламыз. Үшбұрыштың сыртқы бұрышыөзінен басқа ішкі бұрыштарының қосындысына,
:BCD = A + B.
5. Үшбұрыштың кез келген қабырғасы басқа екі қабырғаларының қосындысынан кіші болады және айырмасынан үлкен болады.
( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).
Үшбұрыштардың теңдік белгілері.
Үшбұрыштар тең болады, егер де оларда сәйкесінше:
a) екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы; b) бір бұрышы мен оған іргелес жатқан екі қабырғасы; c) үш қабырғасы
тең болса онда олар тең болады.
Тік бұрышты үшбұрыштардың теңдік белгісі.
Екі тік бұрышты үшбұрыштар тең болса онда келесі шарттар орындалады: 1) олардын катеттері тең болса; 2) бір үшбұрыштың катеті мен гипотенузасы екінші үшбұрыштың катеті мен гипотенузасына тең болса; 3) бір үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең болса;
Үшбұрыштың тамаша түзулері мен нүктелері.
Үшбұрыштың биіктігі деп – оның төбесінен қарсы жатқан қабырғасына түсірілген перпендикулярды айтады. Ол жағы үшбұрыштың табаны деп аталады. Үшбұрыштың үш биіктігі үнемі бір нүктеде қиылысады ол нүкте үшбұрыштың ортцентры деп аталады.Сүйір бұрышты үшбұрыштың ортцентрі ( O нүктесі, сурет.26 ) үшбұрыштың ішінде орналасқан, ал доғал бұрышты үшбұрыштың ортцентрі үшбұрыштың сыртында орналасады ( O нүктесі, сурет.27 ) – сырты; тік бұрышты үшбұрыштың ортцентрі тік бұрыштан түсірілген биміктгімен сайкес келеді.
Медиана- бұл үшбұрыштың төбесін оған қарама қарсы-жатқан қабырғасымен қосатын кесінді. Үшбұрыштың үш медианасы ( AD, BE, CF, рис28 ) бір O нүктесінде қиылысады, ол ауырлық центрі деп аталады және де үшбұрыштың ішінде жатады. Бұл нүкте арбір медиананы төбесінен бастап санағанда 2:1 қатынаста бөледі.
Биссектриса – бұл үшбұрыштың төбесінен шығып бұрышты қақ бөлетін кесінді. Үшбұрыштың үш биссектриссасы ( AD, BE, CF, рис.29 ) үнемі үшбұрыштың ішінде жататын бір О нүктесінде қиылысады, және де ол үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады
Биссектриса қарсы жатқан қабырғаны басқа екі қабырғасына пропорционал кесінділерге боледі; мысалы, рис.29 AE : CE = AB : BC .
Орта перпендикуляр – бұл қабырғаларының орталарынан жүргізілген перпендикуляр кесінділер. Үшбұрыштың үш орта перпендикуляры АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) бір О нүктесінде қиылысады, ол нүкте сырттай сызылған шеңбердің центрі болып табылады ( K, M, N нүктелері–ABC үшбұрышының орталары болып табылады ).
Бұл нүкте сүйір бұрышты үшбұрышта үшбұрыштың ішінде; доғал бұрышты үшбұрышта – сыртында; тік бұрышты үшбұрышта гипотенузаның ортасында жатады. Ортоцентр, ауырлық центрі, іштей жіне сырттай сызылған шеңберлер центрлері тек қана тең қабырғалы үшбұрышта беттеседі.
Пифагор теоремасы. Тік бұрышты үшбұрышта катеттерінің квадраттврының қосындысы гипотенузасының квадратына тең.
Дәлелдемесі мына суреттен шығады рис.31. катеттері а,в ал гипотенузасы с болатын ABC үшбұрышын қарастырайық.
AKMB,Қабырғасы ретінде AB гипотенузасын пайдаланып AKMB квадратын салайық. Сосын АВС тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларын қабырғасы a+ b болатындай CDEF квадратын алу үшін созамыз.Енді CDEF квадратының ауданы ( a + b ) 2 тең болатыны түсінікті. Бір жағынан бұл аудан төрт тік бұрышты үшбұрыштың ауданына AKMB квадратының ауданын қосқанда шығатын санға тең болып тұр, яғни
c 2 + 4 ( ab / 2 ) = c 2 + 2 ab , осы жерден, c 2 + 2 ab = ( a + b ) 2 , қорыта келе бізде: c 2 = a 2 + b 2 .