Абель теоремасы

Абель теоремасы, алгебралық теңдеулер туралы — кез келген $~n$-дәрежелі тендеудің беске тең немесе одан үлкен $~n$-дәрежелі тендеудің түбірлерін радикалдар арқылы коэффициенттерімен өрнектейтін формуланы анықтау мүмкін емес. Абель — Таубер теоремасы Абель теоремасына кері болып табылады.

Бұл теореманы 1824 жылы норвег математигі Нильс Абель (1802 -1829) дәлелдеген.

Тұжырымдама

$\textstyle f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n}$ — жинақтылық радиусы $R$ болатындай комплексті коэффициентті дәрежелік қатар болсын.

Егер $\textstyle \sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}$ жинақталатын қатар болса, онда:

$\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}$.

Дәлелдеу

Айнымалыны $u=x/R$ ауыстыру арқылы $R=1$ деп есептесе болады. Сонымен қатар ($a_{0}$ таңдау арқылы) $\textstyle \sum a_{n}=0$ деуге болады. $\textstyle \sum a_{n}$ қатарының жекеше қосындыларын $S_{n}$ деп белгілейік. Берілген шарт бойынша $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$, ал $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$ екендігін дәлелдеу керек.

$x\in [0,1]$ қарастырайық. Онда ($S_{-1}=0$ деп алсақ):

$\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n}(x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.$

Осыдан шығатыны: $\textstyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}$.

Кез келген $\varepsilon >0$ үшін барлық $n>N_{0}$ үшін $|S_{n}|\leq \varepsilon$ орындалатындай натурал сан $N_{0}$ табылады, сондықтан:

$\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.$

Оң жағы $x$ 1-ге ұмтылғанда $\varepsilon$ ұмтылады, соның ішінде $x$ 1-ге ұмтылғанда ол $2\varepsilon$-нан кіші.