Вектор

Бағытталған кесінді ${\overrightarrow {AB}}$ деп $A$ — “бас нүктесінен” бастап екінші $B$ - “соңғы”нүктесіне дейінгі түзу бойындағы нүктелер жиыны.

Жәй мағынасына сәйкес вектор деп бағытталғын кесінді деп түсінуге болады, ал басқа жағдайларда әртүрлі векторлар – белгілі бір эквиваленттік қатынасы бойынша әртүрлі бағытталған кесінділер эквивалентті класстары болып табылады. Бұл эквиваленттік қатынасы әртүрлі болуы мүмкін: ол векторлардың түрін анықтайды (“еркін”, “тұрақты” т.б.). Басқаша айтқанда, эквивалентті класс ішінде кез келген екі вектор тең болып есептеледі, яғни кез келген вектор сол класты толықтай бейнелей алады.

Еркін векторлар жиыны мен олардың кеңістікті параллель жылжыту жиыны арасындағы изоморфизмды ескерсе, егерде қосу операциясын жылжыту композицияларымен теңестірсе, онда кеңістікті параллель жылжыту жиынын тіпті векторды анықтау үшін де пайдалануғы болады.

Кеңістікті шексіз аз трансформацияларын зерттеуде маңызды рөл атқарады.

• Бaс нүктесі соңғы нүктесімен беттесетін векторды нөлдік вектор деп атайды: ${\overrightarrow {AA}}={\vec {\mathbf {0} }}.$

• ${\overrightarrow {BA}}$ векторын ${\overrightarrow {AB}}$ векторына қарсы вектор деп атайды.

Еркін, сырғанақ және тұрақты векторлар

Кейде, векторлар ретінде “барлық” тең бағытталған кесінділер жиыны орнына осы жиынның әлдебір өзгертілген түрін (факторжиынын) айтады. Осылайша «еркін» (барлық ұзындықтары мен бағыттары бірдей векторларды бір (толықтай бірдей) деп қарастырады), «сырғанақ» (еркін мағынасы байынша тең векторларды егер бас нүктелері мен соңғы нүктелері бір түзудің бойында жатса) және «тұрақты» векторлар (іс жүзінде бағытталған кесінділердің бас нүктелері әр-түрлі болса – векторлар тең емес деген сөз).

Анықтама. Еркін ${\overrightarrow {AB}}$ мен $\ {\overrightarrow {CD}}$ векторлары, егер төртбұрыш $ABFE$ мен $CDFE$ — параллелограмм болатындай $E$ және $F$ нүктелері табылса, тең болады.

• Ескерту. Анықтаманың күрделенген себебі - $A,B,C,D$ нүктелерінің бір түзу бойында жату мүмкіндігінен. Әйтпегенде, оны оңайырақ былай жазуға болар еді:

Анықтама. Еркін бір түзу бойында жатпайтын ${\overrightarrow {AB}}$ және $\ {\overrightarrow {CD}}$ векторлары, егер төртбұрыш $ABDC$ — параллелограмм болса, тең болады.

Анықтама. Сырғанақ ${\overrightarrow {AB}}$ және $\ {\overrightarrow {CD}}$ векторлары, егер * $A,B,C,D$ нүктелері бір түзу бойында жатпаса, ал * ${\overrightarrow {AB}}$ мен $\ {\overrightarrow {CD}}$ векторлары еркін векторлары ретінде тең болса, онда оларда өзара тең деп аталады.

Қарапайым сөзбен айтқанда, сырғанақ векторларға бағыты мен ұзындығын өзгертпей түзуінің бойымен қозғалуына рұқсат етілген.

• Ескерту. Сырғанақ векторлар әсіресе механикада пайдаланылады. Механикадағы ең қарапайым мысал — күш. Өзі жатқан түзу бойымен вектор бас нүктесін көшіргенмен қай нүктеге қатысты есептесе де күш моменті өзгермейді; керісінше, басын басқа түзуге көшірсе тіпті вектордың бығыты мен ұзындығын сақтағанның өзінде күш моменті әрдайым дерлік өзгереді: сондықтан күшті еркін вектор ретінде санауға болмайды.

Анықтама.Егер сәйкесінше $A$ мен $C$, $B$ мен $D$ нүктелері беттессе, онда тұрақты ${\overrightarrow {AB}}$ және $\ {\overrightarrow {CD}}$ векторлары тең деп есептеледі.

Векторларға операциялар қолдану

Векторларды қосу

Екі u, v векторлары және олардың қосындысы

Екі векторларды қосуды параллелограмм ережесімен де, үшбұрыш ережесімен де іске асыруға болады.

Үшбұрыш ережесі. Екі ${\vec {u}}$ мен ${\vec {v}}$ векторларын үшбұрыш ережесімен қосу үшін осы екі векторды өздеріне біреуінің бас жағы екіншісінің аяғымен беттесетіндей параллель көшіру керек. Сонда пайда болған үшбұрыштың үшінші қабырғасы бас жағы алғашқы вектордың басымен беттесетін бастапқы екі вектордың қосынды векторы болып табылады.

Параллелограмм ережесі. Екі ${\vec {u}}$ мен ${\vec {v}}$ векторларын параллелограмм ережесімен қосу үшін екеуін де бастары беттесетіндей параллель көшіріп параллелограммға болықтырады. Сонда екеуінің қосындысы деп параллелограммның осы екі вектор бас жағынан шығатын диагоналін айтады.

Екі сырғанақ векторларды қосу тек қана олар жатқан екі түзу қиылысқанда ғана анықталған. Бұл жағдайда әр вектор өз түзуі бойымен қиылысу нүктесіне дейін көшіріліп, содан кейін параллелограмм ережесімен қосылады.

Екі тұрақты векторларды қосу тек егер олардың ортақ бас нүктесі болғанда ғана анықталған. Бұл жағдайда да олар параллелограмм ережесімен қосылады.

Коллинеар сырғанақ векторларды қосу

Егер екі сырғанақ векторлар параллель болса, онда қосындыны табу қиыншылығы қосынды вектор жатқан түзуді табудың қиындығында жатыр. (Қосынды вектор бағыты мен ұзындығын еркін векторларды қосқандағыдай анықтаған абзал болар еді) механикада статиканы зерттегенде параллель, еркін векторлармен берілетін, күштерді қосу мәселесінде қосымша гипотеза беріледі: берілген векторлар жүйесіне осы векторлар жатқан түзулерді қиып өтетіндей ұзындықтары бірдей, бағыттары қарама-қарсы бір түзу бойында жататындай екі векторды қосуға болады. Мысалы, параллель түзулерде жататын сырғанақ екі ${\vec {a}}$ және ${\vec {b}}$ внкторларын қосу керек болсын. Оларға бір түзу бойындағы ${\vec {c}}$ мен $-{\vec {c}}$ векторларын қосайық. ${\vec {a}}$ мен ${\vec {c}}$ векторлары жатқан түзулер қиылысады, сондықтан ${\vec {a}}$ мен $-{\vec {c}}$ векторлары да қиылысады. Яғни, келесі векторлар анықталған

${\vec {a}}'={\vec {a}}+{\vec {c}},\quad {\vec {b}}'={\vec {b}}-{\vec {c}}$

${\vec {a}}'$ мен ${\vec {b}}'$ векторлары жатқан түзулер ${\vec {a}}$ мен ${\vec {b}}$ векторлары шамалары бойынша тең бірақ бағыттары қарама-қарсы болғанда ғана қиылыспайды, бұл жағдайда ${\vec {a}}$ мен $-{\vec {a}}$ векторлары - векторлар жұбы деп аталады.

Сонымен қорыта айтса, ${\vec {a}}$ және ${\vec {b}}$ векторларының қосындысы деп ${\vec {a}}'$ мен ${\vec {b}}'$ векторларының қосындысын түсіну керекі және бұл қосынды ${\vec {a}}$ мен ${\vec {b}}$ векторлары жұп болмаған жағдайдың бәрінде дұрыс анықталған.

Векторларды санға көбейту

${\vec {a}}$ векторы мен $\lambda$ санының көбейтіндісі леп $\lambda {\vec {a}}$ деп (немесе ${\vec {a}}\lambda$) белгіленетін, модулі $|\lambda |\cdot |{\vec {a}}|$ тең, ал бағыты ${\vec {a}}$ векторының бағытымен бірдей, егер $\lambda >0\,$ болса, және керісінше, қарсы бағытталады, егер $\lambda <0\,$ болса. Егер $\lambda =0\,$, немесе вектор ${\vec {a}}$ нөлдік болса, тек осы жағдайда ғана көбейтінді де $\lambda {\vec {a}}$ — нөлдік вектор.

• Әдетте бұл көбейтіндіні жазғанда бірінші санды сосын векторды жазады, дегенмен де керісінше жазу да қате емес. Қалай десек те, $\lambda {\vec {a}}={\vec {a}}\lambda$.

Скаляр көбейтінді

${\vec {a}}$ мен ${\vec {b}}$ векторларының көбейтіндісі деп |${\vec {a}}$||${\vec {b}}$|$\cos \phi \,$ тең санды айтады, мұндағы $\phi \,$ —${\vec {a}}$ мен ${\vec {b}}$ векторлары арасындағы бұрыш. Белгілеулері: $({\vec {a}},{\vec {b}})$ немесе ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$.

Егер векторлардың біреуі нөлдік болса $\phi$ бұрышының беймәлімдігіне қарамастан көбейтінді нөлге тең боп деп есептеледі.

Векторлардың скаляр көбейтіндісінің қасиеттері:

1. ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}\,$ — коммутативтілік.
2. ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\,$ — дистрибутивтілік.
3. $(\alpha {\vec {a}},{\vec {b}})=\alpha ({\vec {a}},{\vec {b}})$ — санға көбейтуге қатысты сызықтық қасиеті.
4. $({\vec {a}},{\vec {a}})=|{\vec {a}}|^{2}\,$ — вектор нормасы.

Геометриялық түрде алғанда скаляр көбейтінді бір вектордың ұзындығын екінші вектордың біріншісінің бағытына ортогональ проекциясының ұзындығын көбейткенге тең. Кез келген ${\vec {a}}$ векторының бірлік вектормен скаляр көбейтіндісі ${\vec {a}}$ векторының сол бірлік векторға ортогональ проекциясы болып табылады.

Векторлық көбейтінді

a векторынының b векторына Векторлық көбейтіндісі деп келесі шартты қанағаттандыратын c векторын айтады:

• c векторының ұзындығы a мен b векторларының ұзындықтарының және осы векторлардың арасындағы φ бұрышының синусының көбейтінділеріне тең:

$\left|{\vec {c}}\right|=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\sin \phi$

• c векторы a мен b векторларының әр-қайсысына ортогональ
• c векотры abc үштігі оң болатындай бағытталған.

Белгілеулер: ${\vec {c}}=\left[{\vec {a}}{\vec {b}}\right]=\left[{\vec {a}},{\vec {b}}\right]={\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Геометриялық мағынасы бойынша ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ векторлық көбейтіндісі ${\vec {a}},{\vec {b}}$ векторларына керілген бағатталған параллелограммның ауданы болып табылады.

Аралас көбейтінді

${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ векторларының $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ аралас көбейтіндісі деп ${\vec {a}}$ векторын ${\vec {b}}$ және ${\vec {c}}$ векторларының векторлық көбейтіндісіне скаляр көбейткенге тең скалярды айтады:

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\left({\vec {a}},[{\vec {b}},{\vec {c}}]\right)={\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}\times {\vec {c}}\right)$

(теңдікте скаляр және векторлық көбейтінділер белгілері пайдаланылған).

Кейде аралас көбейтіндіні векторлардың үштік скаляр көбейтінді деп те атайды, нәтижесі скаляр болғандықтан болу керек (дәлірек айтқанда - псевдоскаляр болады).

Геометриялық түрде $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ аралас көбейтіндісі ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ векторларына керілген (бағатталған) параллелепипед көлемі болып табылады.

Векторлардың перпендикулярлық белгісі

Векторлар сонда, тек сонда, егер олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса перпендикуляр болады.

Мысал

Екі вектор берілген - $~{\vec {a}}(x_{1};y_{1})$ және $~{\vec {b}}(x_{2};y_{2})$. Бұл екеуі $~x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$ теңдігі орындалса ғана өзара перпендикуляр болады.

Векторлардың коллинеарлық векторлар белгісі

Егер де бір вектордың абсциссасы екіншісінің абсциссасына қатынасы сәйкес ординаталарының қатынасындай болса бұл векторлар — өзара коллинеар.

Мысал

Екі вектор берілген - $~{\vec {a}}(x_{1};y_{1})$ және $~{\vec {b}}(x_{2};y_{2})$. Бұл екеуі $~x_{1}=\lambda x_{2}$ және $~y_{1}=\lambda y_{2}$, мұндағы $\lambda \in \mathbb {R}$, теңдіктері орындалса ғана өзара коллинеар болады.