Белл сандары

Комбинаторикада $B_n$ Белл сандары деп барлық ретсіз n-элементтік жиынның бөлуін, ал $B_0 = 1$ деп есептелінеді.

Сандық мәндері

$B_n$ сандарының $n=0,1,2,\dots$ үшін мәндері мына қатарды түзеді:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (Үлгі:OEIS)

Ашық формулалары

Белл сандарын екінші түрлі Стирлинг сандарының қосындылары ретінде жазуға болады:

$B_n = \sum_{m=0}^n S(n,m)$

Белл сандары үшін Добинский формуласы да орындалады:

$B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$.

Белл сандарын рекурентті түрде жазуға болады:

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k$.

Өндіруші функциясы

Белл сандарының экспонентті өндіруші функциясы

$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}$.