Геометриялық прогрессия

Уикипедия жобасынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Geometric progression convergence diagram.svg

Геометриялық прогрессия — әрбір мүшесі (екіншісінен бастап) алдыңғы мүшесінен қандай да бір еселік деп аталатын тұрақты санға (q\not=0) көбейтуден шығатын сан қатары : b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q. Геометриялық Прогрессия q>1 болса, өспелі Геометриялық Прогрессия, 0<q<1 болса, кемімелі Геометриялық Прогрессия, ал q<0 болса, ауыспа таңбалы Геометриялық Прогрессия деп аталады. Геометриялық Прогрессияның кез келген мүшесі (bk) бірінші мүшесі (b1) мен еселігі (q) арқылы мына формуладан табылады: : b_n=b_1q^{n-1} \quad . Ал Геометриялық Прогрессияның (еселігі 1-ге тең емес) алғашқы n мүшесінің қосындысы (Sn) мына формула бойынша анықталады:

  • S_n = \begin{cases}
  \sum_{i=1}^n  b_i = \frac{b_1-b_1q^{n}}{1-q}=b_1\frac{1-q^{n}}{1-q}, & \mbox{if } q \ne 1 \\
  nb_1, & \mbox{if } q = 1
\end{cases}

Егер |q|<1 болса, және мүше саны (n) шексіз өссе, онда Sn қосындысы шегіне ұмтылады. Осы S саны шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы деп аталады. а1+а1q+...+а1qn+... (|q|<1 болғанда) өрнегі геометриялық қатар деп аталатын жинақты қатардың қарапайым мысалы болып есептеледі. Мұндай геометриялық қатардың қосындысы мынаған тең:

  • S_n \to {b_1 \over 1-q} егер n \to +\infty . Оң мүшелерден тұратын Геометриялық Прогрессияның кез келген мүшесінің мынадай қасиеті бар: .

Дереккөздер[өңдеу]

“Қазақ Энциклопедиясы”, 2-том