Квадраттық түбір

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Нақты сандар[өңдеу]

Барлық рационал және иррационал сандар нақты сандар жиынын құрайды. [1]

Рационал сан[өңдеу]

(латынша - «рационалис» - «ақылмен ойлаған», «ақылмен белгілерген») – ~\frac{m}{n} бөлшегі түрінде өрнектеле алатын сан, мұндағы ~m және ~n бүтін сандар және ~n \neq m (бөлшектің бөлімі нөлге тең емес!). Егер ~m_{1} n_{2} =m_{2} n_{1} теңдігі тура болса, онда ~\frac{ m_{1} }{ n_{1} } және ~\frac{ m_{2} }{ n_{2} } бөлшектері тең рационал сандар дейді. [2]

Иррационал сан[өңдеу]

Иррационал сан — (латынша "иррационалис" — ақылға сыйымсыз, ақылға қонбайтын, ~in (ir) — "емес", яғни кері мағына шығару үшін қолданылатын қосымша және "рацо" — есептеу, қатынас деген сөз) — рационал (яғни, бүтін немесе бөлшек) сан болмайтын сан. Нақты иррационал сан шектеусіз периодсыз ондық бөлшек болады.

Мысалы, ~\sqrt{2}  =1,414213562373095...; ~\pi  = 3,141592653589793...; e = 2,718281828459045...

Иррационал сандар рационал емес алгебралық санға және трансценденттік санға ажыратылады. [3]

Кез келген шексіз периодты емес ондық бөлшек иррационал сан деп аталады. [4]

Көбейтудің дербес жағдайы санды дәрежеге шығару амалы дәреже көрсеткіші бөлшек сан болғанда орындала бермейтіні белгілі. Мұның ең қарапайым түрі — рационал санның квадраты емес оң саннан квадраттық түбір табу, немесе ~x^2 = a (a>0) теңдеуін жалпы түрде шешу рационал сандар жиынында мүмкін болмады. Мысалы, ~x^2  = 2 теңдеуінің түбірлері (~y = x^2 параболасы мен ~y = 2 түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары) ~x_{1} = - \sqrt{2} және ~x_{2} = \sqrt{2} рационал сандар емес, иррационал сандар. [5]

Квадрат түбірдің анықтамасы[өңдеу]

Мысалы, егер кез келген ~a санына ~b санын қосып, одан кейін ~b санын азайтсақ ~((a + b) - b = a), онда ~a саны езгеріссіз қалады немесе амалдардың ретін ауыстырсақ, ~(a - b) + b = a аламыз. Тура осылай, өзара кері көбейту және бөлу амалдарының дұрыс орындалғанын тексеруге болады, яғни ~(ab) :b = a немесе ~(a : b) \cdot b = a, мұндағы ~b \neq 0. Сонда "Дәрежеге шығару амалына кері амал бар ма?" деген сұрақ туындайды. ~3^2 = 9 екені белгілі. Бұл жазудағы ~3^2 — дәреже, ~3 — дәреженің негізі, ~2 — дәреженің көрсеткіші. Мұнда санның негізі ~(3) жөне көрсеткіші ~(2) арқылы дәреженің мәні ~(9) есептелген. Ал берілген дәреженің мәні мен көрсеткіші бойынша дәреженің негізін табуды түбір шығару деп атайды.

Теріс емес ~a санының квадрат түбірі деп квадраты ~a-ға тең ~b санын атайды.

Мысалы, ~64 санының квадрат түбірі ~8 және ~-8, өйткені ~8^2 = 64 және ~(-8)^2 = 64.

Түбірдің оң мәнін арифметикалық квадрат түбір деп атайды.

Қарастырылған мысалда ~8 саны арифметикалық квадрат түбірді береді.

Квадраты ~a-ға тең кез келген теріс емес ~b саны теріс емес ~a санының арифметпикалық квадрат түбірі деп аталады.

~a санынан алынған арифметикальқ квадрат түбір ~\sqrt{a} деп белгіленеді. Мұндағы ~\sqrt{} таңбасы арифметикалык квадрат түбірдің белгісі немесе радикал, ~a — түбір белгісінің ішіндегі өрнек.

~\sqrt{a} өрнегі "~a санының арифметикальқ квадрат түбірі" деп оқылады.

Арифметикалық квадрат түбірдің анықтамасы бойынша: ~\sqrt{a}=b теңдігі a=b^{2},    a\geq 0,   b \geq 0 болғанда орындалады.

Квадрат түбірдің жуық мәндері[өңдеу]

Енді квадрат түбірдің жуық мәнін табуды карастырайық. Кез келген оң иррационал ~\alpha  = 0,345345534555 ... шексіз периодты емес ондық бөлшек сан берілсін.
Берілген сандағы алғашкы ондық таңбаны қалдырайық. Сонда шыққан ~0,3 бөлшегін ~0,1 дәлдікпен кемімен алынған ~\alpha. санының рационал жуықтауы деп атаймыз; тура осылай ~0,34 бөлшегін ~0,01 дөлдікпен кемімен алынған а санының рационал жуықтауы дейміз; ~0,345 бөлшегі ~0,001 дәлдікпен кемімен алынған а санының рационал жуықтауы және т. с. с.
Осылайша ~ \alpha санының ~0,1 дәлдікпен; ~0,01 дәлдікпен; ~0,001 дәлдікпен және т. с. с. артығымен алынған а санының рационал жуықтауын жазуға болады. Олар сәйкесінше ~0,4; 0,35; 0,346 және т.с.с.
Кез келген ~\alpha нақты саны оның кемімен алынған рационал жуықтауынан үлкен, бірақ артығымен алынған рационал жуықтауынан кіші. Сонда ~\alpha нақты санының ондық жуықтауларын келесі түрде жазуға болады:
~0,3 <  \alpha  < 0,4
~0,34 <  \alpha  < 0,35
~0,345 <  \alpha  < 0,346
~0,3453 <  \alpha  < 0,3454
~0,34534 <  \alpha  < 0,34535
~..........................................
Кез келген оң нақты санның ондық жуықтауы (кемімен және артығымен алынған) қалай кұрастырылатынын көрсеттік.
Квадрат түбірдің мәнін калькулятордың көмегімен есептеуге болады. Ол үшін сәйкес сан теріліп, одан кейін ~\sqrt{} белгісін басу керек.
Мысалы, калькулятордың көмегімен ~\sqrt{2} = 1,41421... екенін аламыз. Енді ~\sqrt{2} квадрат түбірінің ондық жуықтауларын жазайық:
~1 <\sqrt{2}  < 2
~1,4 < \sqrt{2} < 1,5
~1,41 <\sqrt{2} < 1,42
~1,414 <\sqrt{2} < 1,415
Бұл процесті жалғастырып, ~\sqrt{2}-нің кез келген дәлдікпен алынған мәнін табуға болады.

Арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттері[өңдеу]

1-теорема. Егер ~a \geq 0 және ~b \geq 0 болса, онда

~\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot   \sqrt{b}

(көбейтіндіден арифметикалық квадрат түбір табу үшін әрбір көбейткіштен жеке түбір тауып, нәтижелерін көбейту керек).

Дәлелдеуі. ~\sqrt{a} \cdot   \sqrt{b} өрнегі ab өрнегінің квадрат түбірі болу үшін арифметикалық түбірдің анықтамасына сәйкес

  1. ~\sqrt{a} \cdot   \sqrt{b}  \geq 0 ;
  2. ~\big(\sqrt{a} \cdot   \sqrt{b} \big) ^ {2} =ab шарттары орындалу керек. Берілуі бойынша ~a және ~b теріс емес сандар. Демек, \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} өрнегінің мағынасы бар және \sqrt{a} мен ~\sqrt{b} мәндері теріс емес болғандықтан, ~\sqrt{a} \cdot   \sqrt{b}  \geq 0. Көбейтіндіні дәрежеге шығару қасиетін қолдансак, онда ~\big(\sqrt{a} \cdot   \sqrt{b} \big) ^ {2} =  \big( \sqrt{a} \big)^{2}\cdot   \big( \sqrt{b} \big)^{2} =ab аламыз.

1-теорема. Бірнеше теріс емес көбейткіштер үшін де орындалады. Мысалы, ~\sqrt{abc} = \sqrt{a} \cdot   \sqrt{b} \cdot   \sqrt{c}, мұндағы ~a > 0, b > 0, c > 0.

2-теорема. Егер ~a  \geq 0 және ~b > 0 божа, онда ~\sqrt{ \frac{a}{b} } =  \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }

3-теорема. Кез келген х үшін теңдігі орындалады. ~\sqrt{x^{2}}= \mid x \mid

[6]

~y= \sqrt{x} Функциясының қасиеттері:[өңдеу]

Функция қасиеттері .jpg

1) анықталу облысы теріс емес сандар, себебі ~x  \geq  0;

2) функцияның графигі координаталар басы арқылы өтеді, өйткені ~x = 0 болғанда, ~y = 0;

3) ~y= \sqrt{x} функциясының графигі координаталық жазыктықтың I ширегінде орналасқан, өйткені арифметикалык түбірдің аньқтамасы бойынша ~x және ~y айнымалыларының мәндері теріс емес сандар;

4) функция өзінің анықталу облысында есейеді, өйткені аргументтің үлкен мөніне функцияның үлкен мәні, аргументтің кіші мәніне функцияның кіші мәні сөйкес. Мысалы, ~x = 4 болғанда, ~y = 2; x = 9 болғанда, ~y = 3 және т.с.с.

~x  \geq  0 болғанда, ~y= \sqrt{x} функциясының графигі ~y = x^{2} функциясының графигі сияқты I ширекте орналасқан және ол графиктер ~y = x түзуіне қарағанда симметриялы. Егер ~M(a; b)

үктесі ~y= x^2 функциясының графигіне тиісті болса, онда осы нүктеге ~y = x түзуіне қарағанда симметриялы ~N(b; a) нүктесі ~y= \sqrt{x} функциясының графигіне тиісті болады.[7]

Санның жуық квадраттық түбірін табу алгоритімдері[өңдеу]

Кестені пайдалану. Шығару амалы[өңдеу]

Брадистің төрт таңбалы кестелерінде 22 кесте бар, солардың бірі — 4-кесте — саннан квадраттық түбір табу. Кестенің кішкене бөлігі келтірілген. Бұл кестеде 1-ден 100-ге дейінгі сандар түбірлерінің жуық мәндері берілген.

Кестедегі квадраттық түбірлер жуық мәндерінің абсолюттік қателігі жазылған жуық мәннің ақырғы разряд бірлігінің жарымынан артпайды, яғни 0,0005 дәлдікпен алынған.


Квадраттық түбірлер кестесі. Түзетулер

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5,0 2,236 2,238 2,241 2,243 2,245 2,247 2,249 2,252 2,254 2,256 0 0 1 1 1 1 2 2 2
5,1 2,258 2,261 2,263 2,265 2,267 2,269 2,272 2,274 2,276 2,278 0 0 1 1 1 1 2 2 2
5,2 2,280 2,283 2,285 2,287 2,289 2,291 2,293 2,296 2,298 2,300 0 0 1 1 1 1 2 2 2
5,3 2,302 2,304 2,307 2,309 2,311 2,313 2,315 2,317 2,319 2,322 0 0 1 1 1 1 2 2 2
5,4 2,324 2,326 2,328 2,330 2,332 2,335 2,337 2,339 2,341 2,343 0 0 1 1 1 1 1 2 2

Мысалдар қарастырайық.

Бірінші ~1 мен ~100 аралығындағы саннан квадраттық түбірлер табуды көрсетеміз.~:\sqrt{5} ,\sqrt{5.2} ,\sqrt{5.25} ,\sqrt{5.256} ,\sqrt{5.2567} ,... саңдарының жуық мәндерін табу үшін ~\sqrt

{5,00} ,\sqrt{5.20} деп жазып, санның бірінші екі таңбасын құрайтын санды ~N-бағанда тауып, оны үшінші таңба тұрған бағанмен қиылыстырамыз.

~5,0 мен ~0-баған қиылысында ~2,236 тұр, яғни ~\sqrt{5.00}  \cong 2.236;  5,2 мен ~0-баған қиылысында ~2,280 тұр, сонда ~\sqrt{5.20}  \cong 2.280;  5,~2 мен ~5-баған қиылысында ~2,291 тұр, сонда ~\sqrt{5.25}  \cong 2,291.

Төрт сан болғанда соңғы цифрға тузетуді (түзету екі сан болса, соңғы екі цифрға) қосады: ~\sqrt{5.256}  \cong 2,291_{1} \cong 2,292 (~1-тузетудің ~6-бағанындағы сан: ~2,291 + 0,001 = 2,292).

~5, 6, 7, т.с.с. орынды сан болғанда, оларды алдын ала торт таңбаға дейін дөңгелектеп, содан кейін кестедегі мәні ізделінеді:

~\sqrt{5.2567}  \cong \sqrt{5.257}  \cong 2,293.

Сан ~1-ден кіші немесе ~100-ден үлкен болғанда, оны алдымен ~a \cdot  10^{2n} түріне келтіреді де, кебейтіндіден квадраттық түбір табады (мұндағы ~1  \leq a \leq 100 n — бүтін сан).

~\sqrt{x} = \sqrt{a10^{2n}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^{2n}} = \sqrt{a} \cdot 10^{n} (\sqrt{a} кестеден алынып, ~10^{n}-не көбейтіледі).

Мысалдар қарастырайық:

~\sqrt{525} = \sqrt{5.25\cdot10^{2}} = \sqrt{5.25}\cdot  10  \cong 2.291\cdot  10=22.91;

~\sqrt{52567} = \sqrt{5.257\cdot10^{4}} = \sqrt{5.257}\cdot   \sqrt{10^{4}}   \cong 2.292\cdot  10^{2}=229.2;

Формула арқылы[өңдеу]

1) Сан онша үлкен болмағанда ертедегі вавилондықтар қолданған әдісті пайдалануға болады.

~\sqrt{x} =  \sqrt{ a^{2}+b } =a+ \frac{b}{2a} , мұнда ~b саны ~a санына қарағанда неғұрлым кіші болса, түбірдің мәні де соғұрлым дәлірек болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-м ы с а л .~\sqrt{80 } өрнегінің ~0,001-ге дейінгі дәлдікте мәнін табайық.

~\sqrt{80}  =  \sqrt{9^2 - 1}  \cong  9 -  \frac{1}{18}  \cong 8.945 ~(0,001 дәлдік~); ~8,945^2 \cong 80.01.

2-м ы с а л . ~\sqrt{5} өрнегінің ~0,001-ге дейінгі дәлдікте мәнін табайық. ~5-ке ең жақын квадрат ~2,2^2 : 2,2^2 = 4,84 болғандықтан,

~\sqrt{5} = \sqrt{2.2^2 + 0.16}  \cong2.2 +  \frac{0.16}{2 \cdot2.2}    \cong  2.236

Бұл төрт таңбалы кестелердегі мәнімен бірдей: ~2,236^2\cong5.[8]

Геометриялық жолмен табу[өңдеу]

Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}

Егер \! |AH| = 1, а \! |HC| = x, онда |BH|=\sqrt{x}

[9]

Итерационалді аналитикалық алгоритм[өңдеу]

 \begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right) \\ x_0 = a \end{cases}

онда  \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a}

Тейлор қатарымен жікеу[өңдеу]

\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\! при |x| \le 1.

Дереккөздер[өңдеу]

  1. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. білқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
  2. "Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X
  3. "Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X
  4. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. білқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
  5. Баймұханов Б., т.б.Б20 Алгебра: Жалпы білім беретін орта мектептің 8-сыныбына арналған оқулык/Б.Баймұханов, Е.Медеуов, Қ.Базаров. — Алматы "Мектеп" баспасы, 2004. —200 бет: сур. ISBN 9965-33-207-Х
  6. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. Әбілқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
  7. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. Әбілқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
  8. Баймұханов Б., т.б.Б20 Алгебра: Жалпы білім беретін орта мектептің 8-сыныбына арналған оқулык/Б.Баймұханов, Е.Медеуов, Қ.Базаров. — Алматы "Мектеп" баспасы, 2004. —200 бет: сур. ISBN 9965-33-207-Х
  9. Р. Курант Г. Роббинс Математика дегеніміз не? МЦНМО, 2000. 148 бет