Менелай теоремасы

Уикипедия жобасынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Менелай теоремасы немесе трансверсалдар туралы теорема немесе толық төртқабырғалық туралы теорема — бұл аффиндік геометрияның классикалық теоремасы.

Тұжырымдамасы[өңдеу]

Menelaos's theorem 1.png

Егер A',B' және C' нүктелері сәйкесінше \triangle ABC үшбұрышының BC,CA және AB қабырғаларында немесе олардың созындыларында жатса [1], онда олар коллинеар болады сонда тек сонда, егер

\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.

мұндағы \frac{AB'}{B'C}, \frac{CA'}{A'B} және \frac{BC'}{C'A} бағытталған кесінділер қатынасын белгілейді,.

Бұл теоремадан мынадай қатынас шығады:

\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.

Вариациялары мен жалпыламалары[өңдеу]

  • Тригонометриялық баламасы:
\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1, мұндағы барлық бұрыштар — бағдарланған.
  • Сфералық геометрияда Менелай теоремасы былай түрленеді
\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.
  • Лобачевский геометриясында Менелай теоремасы түрі
\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.

Тарихы[өңдеу]

Бұл теорема Алесандриялық Менелайдың «Сферикасының» үшінші бөлімінде (шамамен БД 100 ж.) дәлелдейді. Ол басында теореманың жазық нұсқасын дәлелдейді, содан орталық проекциялаумен сфераға көшіреді. Жазықтықтағы нұсқасы оның алдында сақталмаған Евклидтің «Поризмаларында» дәлелденуі мүмкін.

Қолданысы[өңдеу]

Тағы қараңыз[өңдеу]

Ескертпе[өңдеу]

  1. Қабырғаларының өзінде тура екі нүкте жатады немесе мүлдем нүкте болмайды

Сыртқы сілтемелер[өңдеу]