Эллипс

Эллипс^[1] – 2-ретті жазық қисық. Эллипс – фокус деп аталатын F1 F2 нүктелерден қашықтықтарының қосындысы бірдей болатын нүктелердің жиыны. Тік бұрышты координаттар жүйесінде Эллипс теңдеуі x²/a²+y²/b²=1 болады.^[2]

Конусты жазықтықпен қиғанда эллипс пайда болады.

Эллипс элементтері арасындағы қатынастар

Сурет:Ellipse parameters.gif

Эллипс мүшелері

• $~\boldsymbol a$ — үлкен жарты осі;
• $~\boldsymbol b$ — кіші жарты осі;
• $~\boldsymbol c$ — фокальдық радиус (фокустары арасындағы жартылай қашықтық);
• $~\boldsymbol p$ — фокальдық параметрі;
• $~\boldsymbol r_p$ — перифокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең жақын қашықтық);
• $~\boldsymbol r_a$ — апофокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең ұзын қашықтық);

$~a^2 = b^2 + c^2$

$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \le e < 1).$.

$~p = \frac{b^2}{a}$

	$~\boldsymbol a$	$~\boldsymbol b$	$~\boldsymbol c$	$~\boldsymbol p$	$~\boldsymbol {r_p}$	$~\boldsymbol {r_a}$
$~\boldsymbol a$ – үлкен жарты осі	$~\boldsymbol a$	$~a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}}$	$~a = \frac{c}{e}$	$~a = \frac{p}{1-e^2}$	$~a = \frac{r_p}{1-e}$	$~a = \frac{r_a}{1+e}$
$~\boldsymbol b$ – кіші жарты осі	$~b = a \sqrt{1-e^2}$	$~\boldsymbol b$	$~b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e}$	$~b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}$	$~b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$~b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$
$~\boldsymbol c$ – фокальдық қашықтық	$~c = ae$	$~c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$	$~\boldsymbol c$	$~c = \frac{pe}{1-e^2}$	$~c = \frac{r_pe}{1-e}$	$~c = \frac{r_ae}{1+e}$
$~\boldsymbol p$ – фокальдық параметр	$~p = a(1-e^2)$	$~p = b~\sqrt{1-e^2}$	$~p = c~\frac{1-e^2}{e}$	$~\boldsymbol p$	$~p = r_p (1+e)$	$~p = r_a (1-e)$
$~\boldsymbol r_p$ – перифокустық қашықтық	$~r_p = a(1-e)$	$~r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$	$~r_p = c~\frac{1-e}{e}$	$~r_p = \frac{p}{1+e}$	$~\boldsymbol r_p$	$~r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}$
$~\boldsymbol r_a$ – апофокустық қашықтық	$~r_a = a(1+e)$	$~ r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$~ r_a = c~\frac{1+e}{e}$	$~ r_a = \frac{p}{1-e}$	$~ r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e}$	$~\boldsymbol r_a$

Координаттық түрде өрнектеу

Эллипс екінші реттік қисық ретінде

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка және жалпы мына теңдеуді қанағаттандырады

$~a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$

инварианттың $D > 0\,$ және $\Delta I < 0,\,$ болғанда, мұндағы:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix},$

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2,$

$I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}.$

Екінші реттік қисық инварианттары мен эллипс жарты остері арасындағы қатынастар:

$\Delta = -a^4b^4,\,$

$D = a^2b^2,\,$

$I = a^2+b^2.\,$

Пайдаланған әдебиет

1. Рахимбекова З.М. Материалдар механикасы терминдерінің ағылшынша-орысша-қазақша түсіндірме сөздігі ISBN 9965-769-67-2
2. “Қазақстан”: Ұлттық энцклопедия/Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы “Қазақ энциклопедиясы” Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9