Векторлық көбейтінді

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.

\mathbf a векторы мен \mathbf b векторының \R^3 кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын \mathbf c векторын айтады:

  • \mathbf c векторының ұзындығы \mathbf a және \mathbf b векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы \varphi бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: \left| \mathbf c \right| = \left| \mathbf a \right| \left| \mathbf b \right| \sin \varphi;
  • \mathbf c векторы әр \mathbf a және \mathbf b векторларына ортогональ ;
  • \mathbf c векторыны \mathbf{abc} векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
  • \R^7 кеңістігі үшін \mathbf{a,b,c} векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.

Белгілеуі:

 \mathbf c = \left[ \mathbf a \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] = \mathbf a \times \mathbf b

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — У. Гамильтон. [1]

Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау

Қасиеттері[өңдеу]

Геометриялық қасиеттері[өңдеу]

1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.
2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × bвекторына және a-ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.
  • Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
  • Векторлық көбейтінді [\mathbf{ab}] модулі ортақ нүктеге келтірілген \mathbf a және \mathbf b (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған параллелограммның S ауданына тең
  • Егер\mathbf e — \mathbf a және \mathbf b векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал \mathbf a, \mathbf b, \mathbf e — оң үштік, S — \mathbf a және \mathbf b векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:

  [ \mathbf a,\; \mathbf b ] = S\, \mathbf e
  • Егер \mathbf c — кез келген вектор, \pi — осы вектор жатқан кез келген жазықтық, \mathbf e — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор \mathbf c векторына ортогональ, \mathbf g — \pi жазықтығына ортогональ бірлік вектор және \mathbf {ecg} үштік векторлары оң болса, онда \pi жазықтығында жатқан кез келген \mathbf a векторы үшін келесі өрнек орындалады

  \left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] = \mathrm{Pr}_{ \mathbf e }\,  \mathbf a \left| \mathbf c \right| \mathbf g.
  • Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.
V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

V =\mathbf{a \times b \cdot c} = \mathbf{a \cdot b \times c} \ .

Алгебралық қасиеттері[өңдеу]

Өрнектері Сипаттамасы
 \left[ \mathbf{a},\; \mathbf b \right] = - \left[ \mathbf b, \mathbf a \right] Антикоммутативтілік қасиеті
 \left[ \left(\alpha \mathbf a \right),\; \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \left(\alpha \mathbf b \right) \right] = \alpha \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиеті
 \left[ \left( \mathbf a + \mathbf b \right),\; \mathbf c \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] + \left[ \mathbf b,\; \mathbf c \right] қосу бойынша дистрибутивтілік қасиеті
 \left[ \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right],\; \mathbf c \right] + \left[ \left[ \mathbf b,\; \mathbf c \right],\; \mathbf a \right] + \left[ \left[ \mathbf c, \mathbf a \right],\; \mathbf b \right]= 0 тождество Якоби, выполняется в \R^3 и нарушается в \R^7
 \left[ \mathbf a,\; \mathbf a \right] =\mathbf 0
 \left[ \mathbf a,\; [ \mathbf b,\; \mathbf c ] \right]~=~\mathbf b (\mathbf a,\; \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a,\; \mathbf b) «БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігі
 |[\mathbf a, \, \mathbf b]|^2 + (\mathbf a, \, \mathbf b)^2 = |\mathbf a|^2 |\mathbf b|^2 кватерниондар нормасының |\mathbf{vw}| = |\mathbf{v}| |\mathbf{w}| мультипликативтілік жекеше түрі
([\mathbf a, \, \mathbf b], \, \mathbf c)=(\mathbf a, \, [\mathbf b, \, \mathbf c]) бұл өрнек мәнін a, b, c векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды, ( a, \, b, \, c ) немесе \langle a, \, b, \, c \rangle деп белгілейді

Декарттық координаттардағы өрнектелулері[өңдеу]

Егер екі \mathbf a және \mathbf b векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте

 \mathbf a = (a_x,\; a_y,\; a_z)
\mathbf b = (b_x,\; b_y,\; b_z)

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі


[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).

Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:


[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

немесе


[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,

мұндағы\varepsilon_{i j k} — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда


[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y).

Жаттау үшін дәл солай:


[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

немесе


[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k.

Дереккөздер[өңдеу]

  1. Үлгі қатесі: қара {{Кітап}}