Лежандр нышаны

Лежандр нышаны — сандар теориясында пайдаланылатын функция. Француз математигі А. М. Лежандр енгізген. Лежандр нышаны Якоби нышанының жеке түрі, ал ол өз кезегінде Кронекера — Якоби нышанының жекеше түрі болып табылады.

[өңдеу] Анықтама

$a$ — бүтін сан, ал $p$ — тақ жай сан болсын. Лежандр нышаны $\left(\frac{a}{p}\right)$ былай анықталады:

$\left(\frac{a}{p}\right)=0$ , егер $a$ саны $p$ санына бөлінсе.
$\left(\frac{a}{p}\right)=1$ , егер $a$ саны $p$ модулі бойынша квадраттық шегерім болса, яғни $x$ бүтін саны $x^2\equiv a\pmod p$ қанағаттандыратындай табылса.
$\left(\frac{a}{p}\right)=-1$ , егер $a$ саны $p$ модулі бойынша квадраттық шегерім болса

Мультипликативтілік: $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ .
Егер $a\equiv b\pmod p$ , онда $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$ .
$\left(\frac{1}{p}\right)=1.$
$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}.$
$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}.$
Егер $q$ — $p$ санына тең емес жай сан болса, онда $\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$ — өзаралық квадраттық заңының жекеше түрі.
$1\leqslant a\leqslant p-1$ сандары арасында тура жартысы үшін Лежандр нышаны +1, ал қалған жартысыныкі — −1.
Лежандр нышанын $p>2$ болғанда Эйлер формуласы арқылы есептеуге болады: $\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\pmod p$ .