Фибоначчи сандары

Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары

$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2.$

арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.

Бине формуласы

Бине формуласы $F_n$ мүшелерін nге қатысты функция ретінде өрнектейді:

$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}$,

мұндағы $\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — алтын қима. Сонымен қатар $\varphi\,\!$ мен $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\!$ сипаттауыш $x^2-x-1=0\,\!$ теңдеуінің түбірлері болып табылады.

Бине формуласы бойынша кез келген $n\geqslant 0$ үшін, $F_n$ $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\,$ санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни $F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil$. Жеке түрде, $n\to\infty$ болғанда $F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ асимптотика орындалады.

Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады:

$F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)$

Ал $F_{z+2} = F_{z+1} + F_z$ теңдігі кез келген комплекс сан z үшін орындалады.

Теңдіктер

• $F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1$

• $F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}$

• $F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$

• $F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}$

• $F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}$

• $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$

• $F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$

• $F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$

• $F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}$

Жалпы формулалар:

• $F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}$

• $F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}$

• $F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

• Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: $F_{n+1} = K_n(1,\dots,1)$, то есть

$F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, сонымен қатар $\ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & i & 0 &\cdots & 0 \\ i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ 0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\ 0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}$,

мұндағы матрицалар өлшемі $n\times n$, i — жалған бірлік.

• Фибоначчи сандарын Чебышев көпмүшеліктерімен өрнектеуге болады:

$F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i),$

$F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3).$