Дискриминант

Уикипедия жобасынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Дискриминант (латынша – бөлуші, ажыратушы) – ax2+bx+c – екі дәрежелі үш мүшенің дискриминанты b2-4ac – болса, x2+px+q үш мүшенің дискриминанты (p/2)2 – q – ға тең. X3+px+q – үш мүшенің дискриминанты. D=-4P3-27Q2. Үш мүшенің нақты түбірлерінің саны дискриминантын таңбасына тәуелді анықталады.”Дискриминант” ғылыми атауын ағылшын математигі Джеймс Сильвестр (1814 – 1897) енгізген.

p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n көпмүшесінің Дискримина́нты

D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2 өргнегінің туындысы, бұл жерде \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n — барлық түбірлер.

Негізгі қасиеттері[өңдеу]

  • Дискриминант түбірлері еселік болған жайғдайда ғана нөлге тең болады.
  • Дискриминант көпмүшенің түбірлеріне қатысты симметриялы көпмүше болып табылады.
  • D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p'), мұнда R(p,p') — p(x) көпмүшесінің және оның p'(x) туындысының нәтижесі.
    • сонымен қатар, көпмүше дискриминанты
p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
көпмүшесінің дискриминанты келесі (2n-1)\times(2n-1)-матрицасының анықтауышына тең:
1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . . 0
0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . 0
0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0
n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . . 0
0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . 0
0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0
0 0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1

Мысалдар[өңдеу]

  • ax^2+bx+c квадраттық үшмүшелігінің дискриминанты b^2-4ac тең. Егер D > 0 болса, теңдеудің екі түбірі болады. Ол түбірлерді
    x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};       (1)
формуласымен есептейді.
  • ал D = 0 болған жағдайда, теңдеудің жалғыз түбірі болады және ол
    x = \frac{-b}{2a};
формуласымен есептеледі.
  • егер D < 0 болса, теңдеудің шешімі болмайды. (1) формуламен немесе
    x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.
формуласымен өрнектелетін екі кешенді түбір бар.
  • a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 көпмүшесінің дискриминанты
-4a_1^3a_3 + a_1^2a_2^2 - 4a_0a_2^3 + 18a_0a_1a_2a_3 - 27a_0^2a_3^2. тең.

Дереккөздер[өңдеу]

Математика әлемі