Пифагор

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Kapitolinischer Pythagoras.jpg

Пифагор Самосский (еж.-грек. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570—490 жж. б.з.д) — ежелгі грек философы және математигі. «Философия» (пәлсапа) сөзін алғаш рет қолданған Антика дәуірінің атақты философы және математигі Пифагор болған.

Пифагордың өмірбаяны

Ұлы ғалым Пифагор б.з.д. 570 жылы Самос аралында туған. Пифагордың әкесі Мнесарх зергер болған. Пифагордың анасының аты белгісіз. Көптеген жазбалар бойынша туған бала өте әдемі болған және өсе келе өзінің ерекше қабілетімен көзге түскен.

Жас Пифагордың ұстаздарынан Гермодамант пен Ферекид Сиросскийді атауға болады(алайда Пифагордың алғашқы ұстаздары Гермодамант пен Ферекид екені нақты емес). Жас Пифагор күні бойы Гермодаманттың жанында жүріп, Гомердің жақсы әуендерді тыңдап өскен.

Гомердің әуендерін Пифагор жадында мәңгі сақтады. Пифагорды ойшыл деп мойындағаннан кейін жас талант әр күнін оқушылардың арасында Гомердің әуенімен бастаған. Ферекид Италия мектебінің негізін қалаған философ болған. Осылай, Гермодамант Пифагорды музыкаға, Ферекид ғылымға үйреткен. Ферекид Пифагорға табиғат сенің алғашқы да басты ұстазың деген. Жас Пифагорға өз қиялын іске асыру үшін Самостар болды, сондықтан ол Милетке сапар шегіп, онда басқа ғалым – Фалесті кездестірді. Фалес оған білім алу үшін Египетке бар деп кеңес берді. Пифагор оның кеңесін жөн көрді.

Пифагор б.з.д. 548 жылы үй – жай және тамақ табылатын Навкратис жеріне келді. Фараонның түсіндірме хатына қарамастан білгірлер Пифагорға өз құпияларын ашуға асықпай, оған қиын сынақтар қойды. Пифагор білімге деген құштарлығының арқасында сынақтардан оңай өтті. Ол кездегі Египет геометриясы жаратылыстану бағытындағы ғылым болғандықтан египеттік білгірлер оған көп нәрсені үйрете алмады. Білгірлер берген білімді меңгерген Пифагор өз Отанына Элладаға қашып кетті. Біраз жол жүрген Пифагорды үйіне қарай бет алып бара жатқан Вавилон билеушісі Камбиз тұтқынға алады.

Пифагордың Вавилондағы өмірі аса қиын болған жоқ. Вавилон математикасы Египеттікіне қарағанда аса дамыған болатын және Пифагордың үйренетіні де көп еді. Бірақ б.з.д. 530 жылдары Кир Орта Азиядағы тайпаларға қарсы жорыққа шығады. Қаладағы бұл жағдайды пайдаланып Пифагор Отанына қашып кетеді. Бұл кезде Самос аралығындағы билік Поликрат патшаның қолында еді. әрине Пифагор жартылай құл ретінде өмір сүруді ұнатпады,сондықтан ол Самостың жанындағы үңгірге кетіп қалады. Бірнеше айдан соң Пифагор Кротонға көшіп келеді. Кротонда Пифагор өздерін пифагорлықтар деп атаған адамдардан діни одақ құрады. Ол әрі діни бірлестік,саяси клуб және ғылыми одақ болған. Пифагордың кейбір әдеттері үлгі алуға лайықты.

... 20 жыл өтті. Одақтың атағы бар әлемге тарады. Бір күні Пифагорға бай,бірақ жексұрын Килон одаққа бірігу үшін келеді. Пифагор Килонның бетін қайтарады. Килон Пифагордың үйінің өртенгенін пайдаланып,оған қарсы шығады. өрт кезінде пифагорлықтар өз өмірлерін қиып,ұстаздарын құтқарып алады. Қатты қайғырған Пифагор өз - өзіне қол жұмсайды.

Пифагор сандары

Пифагор сандары — натурал сандар үштігі, бұл сандар үшбұрыш қабырғаларының ұзындығына пропорционал (немесе тең) болса, онда үшбұрыш тікбұрышты болып табылады. Бұл үшін Пифагордың кері теоремасы бойынша ол сандардың х2+у2=z2 түріндегі диофант теңдеуін қанағаттандыруы жеткілікті (мыс., х=3, у=4, z=5). Өзара жай Пифагор сандарының кез-келген үштігі мына формулалар арқылы анықталады: х=m2—n2, у=2mn, z=m2+n2, мұндағы m және n — бүтін сандар (m>n>0).[1]

Пифагор теогремасы

Пифагор теогремасы — тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы байланысты тұжырымдайтын геометрия теоремасы. Пифагор теогремасы Пифагорға дейін де белгілі болған, бірақ оны жалпы түрде дәлелдеген Пифагор. Алғашында теорема тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттеріне салынған квадраттар аудандарының қатынасын тұжырымдаған: гипотенузаға тұрғызылған квадрат ауданы катеттерге тұрғызылған квадраттар аудандарының қосындысына тең. Пифагор теогремасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттері квадраттарының қосындысына тең. Пифагор теогремасына төмендегідей кері теорема да дұрыс: егер үшбұрыштың бір қабырғасы ұзындығының квадраты қалған екі қабырғасы ұзындықтарының квадратына тең болса, онда ол үшбұрыш тік бұрышты болады.[1]

Теореманың тарихы

Теоременың тарихы ежелгі Қытайдан бастау алады. Ондағы негізгі назар аудартатын математикалық кітап Чу – пей. Бұл шығармада қабырғалары 3,4,5 – ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады. «Егер тік бұрышты құрайтын 3 – ке тең қабырға мен 4 – ке тең биіктіктің ұштарын қоссақ пайда болған түзу 5 – ке тең болады.» Бұл кітапта үнді Бхаскар геометриясындағы сызбанұсқаға ұқсас сурет бар. Кантор (ұлы неміс математика тарихын зерттеуші)

деп есептеген. Бұл теңдік египтіктерге б .з.д. 2300 жылы Аменемхета I патшаның кезінде белгілі болған (Берлин музейіндегі 6619 - жазбалар бойынша). Кантордың ойынша гарпедонаптар немесе «арқан тартушылар» тік бұрышты қабырғалары 3,4,5 – ке тең тікбұрышты үшбұрыштар арқылы тұрғызған. Олардың құрылу әдісін оңай көрсетуге болады. Ұзындығы 12 метрге тең арқанды алып,бір ұшынан 3 метр,екінші ұшынан 4 метр арақашықтықты өлшеп белгілейміз. Тік бұрыш 3 – ке және 4 – ке тең қабырғалар арасында болады. Қабырғалардың ұштарының арақашықтығы 5 – ке тең болады. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадраттың ауданы катеттеріне салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең... Бұл Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық теорема. Гректің ұлы математигі , әрі философы Пифагор Самосский осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне, Египетке және Вавилонға көп саяхат жасаған.Оңтүстік Италияның грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми және саяси өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор практикада қолдана білген. Бірақ, бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті жер учаскелерін, құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін де қолданған. Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-астрономиялық «Чжоу-би» шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор теоремасы да бар. Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған. Теореманың қарапайым дәлелдеуі Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған квадраттардың қосындысымен тең шамалы. Теореманың қарапайым дәлелдеуі тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында қарастырылады. Теореманың өзі де осыдан басталған.

Теореманың дұрыстығына көз жеткізу үшін тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар мозаикасына қарау жеткілікті. Мысалы, ΔABC үшін : АС гипотенузасына салынған квадрат  4 үшбұрыштан құралған, ал катеттерге салынған квадраттардың әрқайсысы екі үшбұрыштан  тұрады.   Теорема дәлелденді.

Теореманы алгебралық әдіспен дәлелдеу

Т -  катеттері а, b және гипотенузасы с  болатын тікбұрышты үшбұрыш болсын. ( а-сур.).  с2=а2+b2 екенін дәлелдеу керек.
Қабырғалары  а+b  -ға тең Q  квадратын саламыз(б-сур.). Q квалратының қабырғаларынан  А, В, С, D нүктелерін, пайда болған  АВ, ВС, CD, DA кесінділері катеттері а және b –ға тең Т1, Т2, Т3, Т4 тікбұрышты үшбұрыштар құратындай етіп саламыз. ABCD тіктөртбұрышын   Р деп белгілейміз. Енді Р қабырғалары с-ға тең квадрат екенін көрсетуіміз қажет.

Барлық Т1, Т2, Т3, Т4 тік бұрышты үшбұрыштары Т тік бұрышты үшбұрышына тең (екі катеті бойынша). Сондықтан олардың гипотенузалары Т тікбұрышты үшбұрышының гипотенузасына, яғни с кесіндісіне тең. Енді бұл төртбұрыштың бұрыштары тік екенін дәлелдейміз.

  және   - Т  үшбұрышының сүйір бұрыштары. Онда  +  = 90° екендігі белгілі.  Р төртбұрышының А төбесіндегі бұрышы  ,  бұрыштарымен қоса жазыңқы бұрышты құрайды.  Сондықтан  + +  =180°.   +  = 90° болғандықтан   =90°.  Р төртбұрышының басқа бұрыштарының да тік екендігі дәл осылай дәлелденеді. Осыдан,  Р төртбұрышы қабырғасы с болатын квадрат екендігі шығады. 

Қабырғасы а+b –ға тең Q квадраты қабырғасы с-ға тең Р квадраты мен Т үшбұрышына тең төрт үшбұрыштан тұрады. Сондықтан олардың аудандары үшін S(Q)=S(P)+4S(T)орындалады.

S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2  және S(T)=½a*b өрнектерін  S(Q)=S(P)+4S(T) теңдігіне қою арқылы (a + b)2 = c2 + 4*½a*b теңдігін аламыз. (a+b)2=a2+b2+2*a*bболғандықтан (a+b)2=c 2+4*½a*b теңдігін мына түрде жазуға болады: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.
a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b теңдігінен  с2=а2+b2 тең екендігі шығады.

Фигуралардың тең шамалылығын пайдала отырып дәлелдеу

Берілген тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттерге салынған квадраттар құрастырылған фигуралардан тұратынын дәлелдеуді қарастыруға болады. 2 суретте екі тең квадраттар бейнеленген. Әрбір квадраттың қабырғаларының ұзындығы а + b-ға тең. Квадраттардың әрбіреуі квадраттар мен тікбұрышты үшбұрыштардан тұратын бөліктерге бөлінген.Егер квадрат ауданынан катеттері а және b-ға тең тік бұрышты үшбұрыштың 4 еселенген ауданын алып тастасақ, онда тең шамалы аудандар қалады, яғни c2 = a2 + b2 . Бұл дәлелдеуді ұсынған ежелгі үндістер дәлелдеуді жазбаған, тек сызбаны «қара!» деген сөзбен түсіндірген.

Аддитивті дәлелдеулер

Бұл дәлелдеулер катеттерге салынған квадраттар жіктелген фигуралардан гипотенузаға салынған квадратты құрастыруға болатынына негізделген. • Энштейн дәлелдеуі ( 3-сурет) гипотенузаға салынған квадратты 8 үшбұрыштарға бөлуге негізделген. Бұл жерде: ABC –тікбұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш. C MN; CK MN; PO||MN; EF||MN.

4- суретте Пифагор теоремасын Евклидтің «Бастамалар» шығармасының ортағасырлық бағдадтық комментаторы ан- Найризия ұсынған бөлулер көмегімен дәлелдеу келтірілген. Бұл жағдайда гипотенузаға салынған квадрат 3 үшбұрышқа және 2 төртбұрышқа  бөлінген.Мұнда: ABC – тікбұрышы C болатын үшбұрыш; DE = BF. 

• ан- Найризияның дәлелдеуінің негізінде квараттарды қос-қостан тең болатын фигураларға бөлуге де болады ( 5-сурет, бұл жерде ABC – C бұрышы тік болатын тікбұрышты үшбұрыш.). • Квадраттарды тең бөліктерге жіктеу әдісі арқылы тағы бір дәлелдеу «қалқаншалы дөңгелек» деп аталады және 6-суретте көрсетілген. Мұнда: ABC– тікбұрышы C болатын тікбұрышты үшбұрыш; O – үлкен катетке салынған квадраттың центрі, О нүктесі арқылы өтетін пунктирлі түзулер гипотенузаға перпендикуляр немесе параллель.

Қосымша салулар арқылы дәлелдеу.

Бұл әдістің негізі тең шамалы фигуралар пайда болу үшін катеттерге салынған квадраттарға және гипотенузаға салынған квадратқа тең фигуралар салынады. • 7 – суретте қарапайым Пифагор фигурасы, яғни қабырғаларына квадрат салынған АВС тікбұрышты үшбұрышы бейнеленген. Бұл фигура алдыңғы тікбұрышты үшбұрышқа тең 1 және 2 үшбұрыштарымен толықтырылады. Пифагор теоремасының дұрыстығы AEDFPB және ACBNMQ алтыбұрыштарының тең шамалы екендігінен шығады. Мұнда C EP, EP түзуі AEDFPB алтыбұрышын екі тең шамалы төртбұрыштарға, CM түзуі ACBNMQ алтыбұрышын екі тең шамалы төртбұрыштарға бөледі, А центрімен жазықтықты 90° бұрсақ АЕРВ төртбұрышы АСМQ төртбұрышына беттеседі. • 8- суретте Пифагор фигурасы қабырғалары катеттерге салынған квадраттар қабырғаларына параллель тіктөртбұрышқа толықтырылады.Бұл тіктөртбұрыш үшбұрыштар мен тіктөртбұрыштарға бөленеді. Пайда болған тіктөртбұрыштан 1,2,3,4,5,6,7,8,9 көпбұрыштарын алып тастаймыз, сонда гипотенузаға салынған квадрат қалады. Енді осы тіктөртбұрыштан 5,6,7 және штрихталған тіктөртбұрыштарды алып тастасақ, катеттерге салынған квадрат пайда болады. Енді бірінші жағдайда алып тасталған фигуралар мен екінші жағдайда алып тасталған фигуралар тең шамалы екендігін дәлелдейміз. • 9 суретте Нассириддин (1594 ж. ) дәлелдеуі көрсетілген. Мұнда: PCL – түзу; KLOA = ACPF = ACED = a2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; бұдан c2 = a2 + b2. 11 - суретте Гофман (1821 ж.) дәлелдеуі бейнеленген. Мұнда : ABC -тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш; BF кесіндісі CB кесіндісіне перпендикуляр және тең, BE кесіндісі AB кесіндісіне перпендикуляр және тең, AD кесіндісі AC -ға перпендикуляр және тең; F, C, D нүктелері бір түзудің бойында жатады; ADFB және ACBE төртбұрыштары теңшамалы, өйткені ABF=ECB; ADF және ACE үшбұрыштары тең шамалы; енді екі тең шамалы төртбұрыштан да екеуіне ортақ АВС үшбұрышын алып тастаймыз, сонда мына теңдікті аламыз:

Алгебралық әдіспен дәлелдеу.

12  - суретте ұлы үнді математигі Бхаскаридің дәлелдеуі көрсетілген. Суретті салуда «Қара!» деген сөзге негізделген. Пифагор теоремасын алгебралық түрде дәлелдеулердің ішінде бұл дәлелдеу бірінші орында. 

13- суретте ABC – тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш, CM AB, b1 – гипотенузаға түсірілген b катетінің проекциясы, a1 – гипотенузаға түсірілген а катетінің проекциясы, h – үшбұрыштың гипотенузаға түсірілген биіктігі.

ABC үшбұрышы мен   ACM үшбұрышының ұқсастығынан 

b2 = cb1; (1)

 ABC ,  BCM  үшбұрыштарының ұқсастығынан

a2 = ca1. (2) шығады. (1) және (2) теңдіктерін мүшелеп қоссақ, a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2 теңдігін аламыз.

Мёльманн дәлелдеуі-1 әдісі . ( 14- сурет). 
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы  -ға немесе  -ға тең, мұнда  p – үшбұрыштың жарты периметрі, r – үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы  Осыдан: 
, c2=a2+b2. теңдігі шығады.

Мёльманн дәлелдеуі-2 әдісі Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы :S=½*a*b немесе S=½(p*r) тең (кез-келген үшбұрыш үшін); p - үшбұрыштың жарты периметрі ; r – Іштей сызылған шеңбердің радиусы. r = ½*(a + b - c) – кез-келген үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы. ½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); a + b=x; a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2) a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2) a2 + b2 - c2 = 0, сондықтан a2 + b2 = c2

Гарфилд дәлелдеуі. 
15- суретте үш тікбұрышты үшбұрыш трапеция құрап тұр.Сондықтан бұл фигураның ауданын тікбұрышты трапецияның ауданы бойынша немесе үш тікбұрышты үшбұрыштың аудандарының қосындысы бойынша табуға болады.Бірінші жағдайда аудан: 
екінші жағдайда  

Екеуін теңестіре келе, c2=a2+b2 екендігі шығады. Бұрыштың косинусын пайдалана отырып дәлелдеу.

ΔАВС – С бұрышы тік болатын берілген тіктөртбұрыш.С тікбұрышының төбесінен СD биіктігін жүргіземіз.

Косинустар теоремасының анықтамасы бойынша (Тікбұрышты үшбұрышың сүйір бұрышының косинусы деп іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасын айтамыз.) соsА=AD/AC=AC/AB. Бұдан AB*AD=AC2. Осыған ұқсас соsВ=BD/BC=BC/AB. Бұдан шығатыны AB*BD=ВС2. Шыққан теңдіктерден AD+DB=AB екенін ескере отырып, АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2 теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді. Евклид дәлелдеуі Берілгені:ΔАВС – тікбұрышты үшбұрыш, AJ - гипотенузаға түсірілген биіктік, BCED – гипотенузаға салынған квадрат, ABFH және ACKJ - катеттерге салынған квадраттар.

Дәлелдеу керек: Гипотенузаның квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.(Пифагор теоремасы).

Дәлелдеуі:1. BJLD тіктөртбұрышы ABFH квадратына тең шамалы екендігін дәлелдеу керек. ΔABD=ΔBFS (екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы бойынша BF=AB; BC=BD; Бұрыш FBS=бұрышABD). SΔABC=½SBJLD, өйткені ΔABC үшбұрышы мен BJLD тіктөртбұрышында BD ортақ табан және LD ортақ биіктік. Осыған ұқсас SΔFBS=½SABFH (BF-ортақ табан, AB – ортақ биіктік). Осыдан SΔABD= SΔFBS екендігін ескере отырып, SBJLD=SABFH теңдігін аламыз. ΔBCK және ΔACEүшбұрыштарының теңдігін пайдала отырып, SJCEL=SACKG екендігі дәлелденеді. Бұдан SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.

Дәлелдеулердің бірнеше түрлерін қарастыра келе, мына суреттер бойынша қосымша салулар арқылы дәлелдеулер келтірілген. Мұнда пунктирлі сызықтар қосымша салуларды көрсетеді.

Сонымен ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4,5 болатын үшбұрышты 2000 жыл бұрын тік бұрыш салуға пайдалана білген. Яғни Пифагор теоремасына кері теореманы қолданған. Енді үшбұрыштар теңдігінің белгілеріне негізделген дәлелдеуді келтірейік. Сонымен ABC үшбұрышының қабырғалары( 24-сурет) c2 = a2 + b2. (3) қатынасымен байланысты. Осы үшбұрыштың тікбұрышты үшбұрыш екенін дәлелдейміз. Катеттері берілген үшбұрыштың a және b катеттеріне тең болатын екі катеті бойынша A1B1C1 үшбұрышын саламыз (25- сурет). Салынған үшбұрыштың гипотенузасы c1 тең болсын. Салынған үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш болғандықтан Пифагор теоремасы бойынша c12 = a2 + b2. (4) (3) және (4) теңдіктерін салыстыра отырып , c12 = c2, немесе c1 = c екендігін аламыз. Осыдан берілген және салынған үшбұрыштар үш қабырғалары сәйкесінше теңболғандықтан үшбұрыштардың теңдігі шығады. Пифагор теоремасының дәлелдемелерін көптеп келтіруге болады.

Пифагор теоремасының қолданылулары Пифагор теоремасы қазіргі өмірде құрылыста, астрономияда, мобильді байланыста кеңінен қолданылады. Суретте осы теореманы пайдалана отырып, готикалық стильде салынған терезенің мысалы келтірілген.

Сол сияқты шатыр салуда AC=8 м. және AB=BF болса, Найзағай түсірмеуге арналған құрылғыны салу үшін де осы теоремаға сүйенеді. Яғни, Пифагор теоремасы бойынша h2≥ a2+b2, яғни h≥(a2+b2)1/2. Осы сияқты өмірде Пифагор теоремасын қолданатындығына көптеген мысалдар келтіруге болады.

Дереккөздер:

  1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.
  2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982.
  3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.
  4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
  5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
  6. Приложение «1сентября» , 2001.
  1. a b «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9, VII том