Мёбиус функциясы

Мёбиус функциясы $\mu (n)$ — сандар теориясы мен комбинаторикада қолданылатын мультипликативті арифметикалық функция, 1831 алғашқы рет осы функцияны қарастырған неміс математигі Мёбиуса атымен аталған.

Алғашқы 50 нүктелері

Анықтама

$\mu (n)$ барлық $n$ натурал сандары үшін анықталып $n$ санының жай сандарға көбейткіштерге жіктелу сипатына байланысты ${-1,\;0,\;1}$ мәндерін қабылдайды:

• $\mu (n)=1$ егер $n$ квадраттардан таза (яғни еш жай санның квадратына бөлінбейді) және $n$ санының жай сандарға көбейткіштерге жіктелуі жұп көбейткіштерден тұрса;
• $\mu (n)=-1$ егер $n$ квадраттардан таза және $n$ санының жай сандарға көбейткіштерге жіктелуі тақ көбейткіштерден тұрса;
• $\mu (n)=0$ егер $n$ квадраттардан таза болмаса.

Анықтама бойынша $\mu (1)=1$ деп есептеледі.

Қасиеттері мен қолданылуы

Мёбиус функциясы мультипликативті: кез келген өзара жай сандар $a$ мен $b$ үшін $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$.

Мёбиус функциясының $n$ санының барлық, бірге теі емес, бөлгіштері үшін мәндерінің қосындысы нөлге тең

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}$

Бұл, жекеше түрде, кез келген бос емес шекті жиын үшін мүшелерінің саны тақ болатын әр түрлі ішкі жиындарының саны мүшелерінің саны жұп болатын әр түрлі ішкі жиындарының санына тең деген ақиқаттан шығады. Дәл осы тұжырыммен #Мёбиус айналдыру формуласында дәлелдейді.

Мёбиус функциясы Мертенс функциясымен келесідей байланысқан

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).$

Мертенса функциясы өз кезегінде Риман дзета-функциясының нөлдер есебімен тығыз байланыста, Мертенс гипотезасын қараңыз.

Мёбиус айналдыру формуласы

Бірінші Мёбиус айналдыру формуласы

Арифметикалық функция $f$ пен $g$ үшін келесі теңдік,

$g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)$

сонда тек сонда, егер

$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g(n/d)$ болғанда орындалады.

Екінші Мёбиус айналдыру формуласы

Анықталу облысы $x\geqslant 1$ болатын нақты мәнді функциялар $f(x)$ пен $g(x)$ үшін мына теңдік

$g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)$

сонда тек сонда, егер

$f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)$ болса орындалады.

Мұндағы $\sum _{n\leqslant x}$ қосындысы $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$ болып сипатталады.