Фибоначчи сандары

Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары

$F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2.$

арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.

Бине формуласы

Бине формуласы $F_{n}$ мүшелерін nге қатысты функция ретінде өрнектейді:

$F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}$,

мұндағы $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — алтын қима. Сонымен қатар $\varphi \,\!$ мен $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi \,\!$ сипаттауыш $x^{2}-x-1=0\,\!$ теңдеуінің түбірлері болып табылады.

Бине формуласы бойынша кез келген $n\geqslant 0$ үшін, $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\,$ санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil$. Жеке түрде, $n\to \infty$ болғанда $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ асимптотика орындалады.

Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады:

$F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right)$

Ал $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$ теңдігі кез келген комплекс сан z үшін орындалады.

Теңдіктер

• $F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1$

• $F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}$

• $F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$

• $F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}$

• $F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}$

• $F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}$

• $F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$

• $F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}$

• $F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}$

Жалпы формулалар:

• $F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}$

• $F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}$

• $F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

• Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: $F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1)$, то есть

$F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$, сонымен қатар $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}$,

мұндағы матрицалар өлшемі $n\times n$, i — жалған бірлік.

• Фибоначчи сандарын Чебышев көпмүшеліктерімен өрнектеуге болады:

$F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right)=(-i)^{n}T_{n}(-i),$

$F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right)=T_{n}(3).$