Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары
F
0
=
0
,
F
1
=
1
,
F
n
=
F
n
−
1
+
F
n
−
2
,
n
⩾
2.
{\displaystyle F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2.}
арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи ) тапқан.
Бине формуласы
F
n
{\displaystyle F_{n}}
n ге қатысты функция ретінде өрнектейді:
F
n
=
(
1
+
5
2
)
n
−
(
1
−
5
2
)
n
5
=
φ
n
−
(
−
φ
)
−
n
φ
−
(
−
φ
)
−
1
=
φ
n
−
(
−
φ
)
−
n
2
φ
−
1
{\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}
мұндағы
φ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
алтын қима . Сонымен қатар
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
(
−
φ
)
−
1
=
1
−
φ
{\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi \,\!}
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0\,\!}
Бине формуласы бойынша кез келген
n
⩾
0
{\displaystyle n\geqslant 0}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
φ
n
5
{\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\,}
бүтін сан болып табылады, яғни
F
n
=
⌊
φ
n
5
⌉
{\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
F
n
∼
φ
n
5
{\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
асимптотика орындалады.
Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады :
F
z
=
1
5
(
φ
z
−
cos
π
z
φ
z
)
{\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right)}
Ал
F
z
+
2
=
F
z
+
1
+
F
z
{\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}}
комплекс сан z үшін орындалады.
F
1
+
F
2
+
F
3
+
⋯
+
F
n
=
F
n
+
2
−
1
{\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1}
F
1
+
F
3
+
F
5
+
⋯
+
F
2
n
−
1
=
F
2
n
{\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}}
F
2
+
F
4
+
F
6
+
⋯
+
F
2
n
=
F
2
n
+
1
−
1
{\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1}
F
n
+
1
F
n
+
2
−
F
n
F
n
+
3
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}}
F
1
2
+
F
2
2
+
F
3
2
+
⋯
+
F
n
2
=
F
n
F
n
+
1
{\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}}
F
n
2
+
F
n
+
1
2
=
F
2
n
+
1
{\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}}
F
2
n
=
F
n
+
1
2
−
F
n
−
1
2
{\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}}
F
3
n
=
F
n
+
1
3
+
F
n
3
−
F
n
−
1
3
{\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}}
F
5
n
=
25
F
n
5
+
25
(
−
1
)
n
F
n
3
+
5
F
n
{\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}}
Жалпы формулалар:
F
n
+
m
=
F
n
−
1
F
m
+
F
n
F
m
+
1
=
F
n
+
1
F
m
+
1
−
F
n
−
1
F
m
−
1
{\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}}
F
(
k
+
1
)
n
=
F
n
−
1
F
k
n
+
F
n
F
k
n
+
1
{\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}}
F
n
=
F
l
F
n
−
l
+
1
+
F
l
−
1
F
n
−
l
{\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}}
Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады:
F
n
+
1
=
K
n
(
1
,
…
,
1
)
{\displaystyle F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1)}
F
n
+
1
=
det
(
1
1
0
⋯
0
−
1
1
1
⋱
⋮
0
−
1
⋱
⋱
0
⋮
⋱
⋱
⋱
1
0
⋯
0
−
1
1
)
{\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}
F
n
+
1
=
det
(
1
i
0
⋯
0
i
1
i
⋱
⋮
0
i
⋱
⋱
0
⋮
⋱
⋱
⋱
i
0
⋯
0
i
1
)
{\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}}
мұндағы матрицалар өлшемі
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
i — жалған бірлік .
F
n
+
1
=
(
−
i
)
n
U
n
(
−
i
2
)
=
(
−
i
)
n
T
n
(
−
i
)
,
{\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right)=(-i)^{n}T_{n}(-i),}
F
2
n
+
2
=
U
n
(
3
2
)
=
T
n
(
3
)
.
{\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right)=T_{n}(3).}
