Фибоначчи сандары

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары

F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2.

арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.

Бине формуласы[өңдеу]

Бине формуласы F_n мүшелерін nге қатысты функция ретінде өрнектейді:

F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1},

мұндағы \varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}алтын қима. Сонымен қатар \varphi\,\! мен (-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\! сипаттауыш x^2-x-1=0\,\! теңдеуінің түбірлері болып табылады.

Бине формуласы бойынша кез келген n\geqslant 0 үшін, F_n \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\, санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. Жеке түрде, n\to\infty болғанда F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}} асимптотика орындалады.

Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады:

F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)

Ал  F_{z+2} = F_{z+1} + F_z теңдігі кез келген комплекс сан z үшін орындалады.

Теңдіктер[өңдеу]

  • F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1
  • F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}
  • F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
  • F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}
  • F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
  • F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
  • F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2
  • F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3
  • F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}

Жалпы формулалар:

  • F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}
  • F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}
  • F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}
  • Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: F_{n+1} = K_n(1,\dots,1), сол дегеніміз
F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & 1  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}, сонымен қатар \ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & i    & 0 &\cdots & 0 \\ 
i  & 1  & i &  \ddots    & \vdots\\
0   & i   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & i \\ 
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix},
мұндағы матрицалар өлшемі n\times n, iжалған бірлік.
F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i),
F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3).