Фибоначчи сандары: Нұсқалар арасындағы айырмашылық
Жаңа бетте: '''Фибоначчи сандары''' – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3... |
шӨңдеу түйіні жоқ |
||
1-жол: | 1-жол: | ||
'''Фибоначчи сандары''' – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің ( |
'''Фибоначчи сандары''' – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының бастапқы мәндері <math>\left\{F_1\right\}={F_2\right\}=1</math> мен рекурренттік қатынастары |
||
: <math>F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2.</math> |
|||
арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик [[Леонардо Пизанский]] ([[Фибоначчи]]) тапқан. |
|||
== Бине формуласы== |
|||
==Сілтемелер== |
|||
Қазақ Энциклопедиясы, 9 том. |
|||
'''[[Бине, Жак Филипп Мари|Бине]] формуласы''' <math>F_n</math> мүшелерін ''n''ге қатысты функция ретінде өрнектейді: |
|||
: <math>F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}</math>, |
|||
мұндағы <math>\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> — [[алтын қима]]. Сонымен қатар <math>\varphi\,\!</math> мен <math>(-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\!</math> сипаттауыш <math>x^2-x-1=0\,\!</math> теңдеуінің түбірлері болып табылады. |
|||
Бине формуласы бойынша кез келген <math>n\geqslant 0</math> үшін, <math>F_n</math> <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\,</math> санына ең жақын [[бүтін сан]] болып табылады, яғни <math>F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil</math>. Жеке түрде, <math>n\to\infty</math> болғанда <math>F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math> [[асимптотика]] орындалады. |
|||
Бине формуласы [[Аналитикалық жалғасы|аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады]]: |
|||
: <math>F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)</math> |
|||
Ал <math> F_{z+2} = F_{z+1} + F_z </math> теңдігі кез келген [[комплекс сан]] ''z'' үшін орындалады. |
|||
== Теңдіктер== |
|||
* <math>F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1</math> |
|||
* <math>F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}</math> |
|||
* <math>F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1</math> |
|||
* <math>F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}</math> |
|||
* <math>F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}</math> |
|||
* <math>F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}</math> |
|||
* <math>F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2</math> |
|||
* <math>F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3</math> |
|||
* <math>F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}</math> |
|||
Жалпы формулалар: |
|||
* <math>F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}</math> |
|||
* <math>F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}</math> |
|||
* <math>F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}</math> |
|||
* Фибоначчи сандары [[континуанта|континуанталар]] мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: <math>F_{n+1} = K_n(1,\dots,1)</math>, то есть |
|||
:: <math>F_{n+1} = |
|||
\det \begin{pmatrix} |
|||
1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ |
|||
-1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ |
|||
0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ |
|||
\vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ |
|||
0 & \cdots & 0 & -1 & 1 |
|||
\end{pmatrix}</math>, сонымен қатар <math>\ F_{n+1} = |
|||
\det \begin{pmatrix} |
|||
1 & i & 0 &\cdots & 0 \\ |
|||
i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ |
|||
0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\ |
|||
\vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\ |
|||
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}</math>, |
|||
: мұндағы матрицалар өлшемі <math>n\times n</math>, ''i'' — [[жалған бірлік]]. |
|||
* Фибоначчи сандарын [[Чебышев көпмүшеліктері]]мен өрнектеуге болады: |
|||
: <math>F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i),</math> |
|||
: <math>F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3).</math> |
|||
[[Санат:Сандар теориясы]] |
|||
[[Санат:Сандар тізбегі]] |
|||
[[ar:متتالية فيبوناتشي]] |
|||
[[az:Fibonaççi ədədləri]] |
|||
[[bg:Числа на Фибоначи]] |
|||
[[bn:ফিবোনাচ্চি রাশিমালা]] |
|||
[[bs:Fibonaccijev broj]] |
|||
[[ca:Successió de Fibonacci]] |
|||
[[cs:Fibonacciho posloupnost]] |
|||
[[da:Fibonacci-tal]] |
|||
[[de:Fibonacci-Folge]] |
|||
[[el:Ακολουθία Φιμπονάτσι]] |
|||
[[en:Fibonacci number]] |
|||
[[eo:Fibonaĉi-nombro]] |
|||
[[es:Sucesión de Fibonacci]] |
|||
[[et:Fibonacci jada]] |
|||
[[eu:Fibonacciren zenbakiak]] |
|||
[[fa:اعداد فیبوناچی]] |
|||
[[fi:Fibonaccin lukujono]] |
|||
[[fr:Suite de Fibonacci]] |
|||
[[ga:Seicheamh Fibonacci]] |
|||
[[gv:Straih Fibonacci]] |
|||
[[he:סדרת פיבונאצ'י]] |
|||
[[hi:हेमचन्द्र श्रेणी]] |
|||
[[hr:Fibonaccijev broj]] |
|||
[[hu:Fibonacci-számok]] |
|||
[[id:Bilangan Fibonacci]] |
|||
[[is:Fibonacci-runa]] |
|||
[[it:Successione di Fibonacci]] |
|||
[[ja:フィボナッチ数]] |
|||
[[kaa:Fibonachchi sanları]] |
|||
[[ko:피보나치 수]] |
|||
[[la:Numeri Fibonacciani]] |
|||
[[lt:Fibonačio skaičius]] |
|||
[[lv:Fibonači skaitļi]] |
|||
[[ml:ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി]] |
|||
[[mn:Фибоначчийн тоо]] |
|||
[[ms:Bilangan Fibonacci]] |
|||
[[nl:Rij van Fibonacci]] |
|||
[[nn:Fibonaccifølgja]] |
|||
[[no:Fibonaccitall]] |
|||
[[pl:Ciąg Fibonacciego]] |
|||
[[pms:Sequensa ëd Fibonacci]] |
|||
[[pt:Número de Fibonacci]] |
|||
[[ro:Numerele Fibonacci]] |
|||
[[scn:Succissioni di Fibonacci]] |
|||
[[si:ෆිබොනාච්චි සංඛ්යා]] |
|||
[[simple:Fibonacci number]] |
|||
[[sk:Fibonacciho postupnosť]] |
|||
[[sl:Fibonaccijevo število]] |
|||
[[sq:Numrat e Fibonaccit]] |
|||
[[sr:Фибоначијев низ]] |
|||
[[sv:Fibonaccital]] |
|||
[[ta:ஃபிபனாச்சி எண்கள்]] |
|||
[[th:เลขฟีโบนัชชี]] |
|||
[[tr:Fibonacci dizisi]] |
|||
[[uk:Послідовність Фібоначчі]] |
|||
[[uz:Fibonachchi sonlari]] |
|||
[[vi:Dãy Fibonacci]] |
|||
[[vls:Reke van Fibonacci]] |
|||
[[zh:斐波那契数列]] |
16:37, 2011 ж. тамыздың 22 кезіндегі нұсқа
Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының бастапқы мәндері Құрылымын талдатуы сәтсіз бітті (сөйлем жүйесінің қатесі): {\displaystyle \left\{F_1\right\}={F_2\right\}=1} мен рекурренттік қатынастары
арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.
Бине формуласы
Бине формуласы мүшелерін nге қатысты функция ретінде өрнектейді:
- ,
мұндағы — алтын қима. Сонымен қатар мен сипаттауыш теңдеуінің түбірлері болып табылады.
Бине формуласы бойынша кез келген үшін, санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни . Жеке түрде, болғанда асимптотика орындалады.
Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады:
Ал теңдігі кез келген комплекс сан z үшін орындалады.
Теңдіктер
Жалпы формулалар:
- Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: , то есть
- , сонымен қатар ,
- мұндағы матрицалар өлшемі , i — жалған бірлік.
- Фибоначчи сандарын Чебышев көпмүшеліктерімен өрнектеуге болады: