Белл сандары

Комбинаторикада $B_{n}$ Белл сандары деп барлық ретсіз n-элементтік жиынның бөлуін, ал $B_{0}=1$ деп есептелінеді.

Сандық мәндері

$B_{n}$ сандарының $n=0,1,2,\dots$ үшін мәндері мына қатарды түзеді:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (A000110 тізбегі OEIS энциклопедиясында)

Ашық формулалары

Белл сандарын екінші түрлі Стирлинг сандарының қосындылары ретінде жазуға болады:

$B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m)$

Белл сандары үшін Добинский формуласы да орындалады:

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$.

Белл сандарын рекурентті түрде жазуға болады:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}$.

Өндіруші функциясы

Белл сандарының экспонентті өндіруші функциясы

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}$.