Валлис формуласы

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Валлис формуласы~\pi (пи) санынан шексіз көбейтінді түрінде өрнектейтін формула:

~\frac{ \pi }{2}  =  \frac{2}{1}  \cdot  \frac{2}{3}  \cdot \frac{4}{3}  \cdot \frac{4}{5} ...  \frac{2k}{2k-1}  \cdot \frac{2k}{2k+1}

Тарихы[өңдеу]

Бұл өрнекті 1665 жылы ағылшын математигі Джон Валлис (1616 - 1703) “Шексіздік арифметикасы” деген ғылыми еңбегінде

дөңгелектің ауданын есептеуде пайдаланған. Осы формула іс жүзінде қолданыс тапқан шексіз көбейтінділердің алғашқыларының бірі. [1]

Эйлердің синустар шексіз көбейтіндісі негізінде дәлелдеу[2][өңдеу]

\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

x = π/2 десек:

\begin{align}
  \Rightarrow\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\
  \Rightarrow\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
                           &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots
\end{align}


Интегралмен дәлелдеу[3][өңдеу]

Келесіні белгілейік:

I(n) = \int_0^\pi \sin^nxdx

(Валлис интегралдары түрі). Бөліктеп интегралдаса:

\begin{align}
               u &= \sin^{n-1}x \\
  \Rightarrow du &= (n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx \\
              dv &= \sin x dx \\
   \Rightarrow v &= -\cos x
\end{align}
\begin{align}
 \Rightarrow I(n) &=  \int_0^\pi \sin^nxdx=\int_0^\pi u dv = uv |_{x=0}^{x=\pi}-\int_0^\pi v du \\
               {} &= -\sin^{n-1}x\cos x |_{x=0}^{x=\pi} - \int_0^\pi - \cos x(n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx \\
               {} &= 0 - (n-1) \int_0^\pi -\cos^2x \sin^{n-2}x dx, n > 1 \\
               {} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x dx \\
               {} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x dx \\
               {} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\
               {} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\
 \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}
                  &= \frac{n-1}{n} \\
 \Rightarrow \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}
                  &=\frac{2n+1}{2n}
\end{align}

Бұл нәтиже төменде қолданылады:

\begin{align}
 I(0)  &= \int_0^\pi dx = x|_0^\pi = \pi \\
 I(1)  &= \int_0^\pi \sin xdx = -\cos x|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 \\
 I(2n) &= \int_0^\pi \sin^{2n}xdx = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)
\end{align}

Процесті қайталаса,

=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}
I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)

Процесті қайталаса,

=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}
\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x, 0 \le x \le \pi
\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)
\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}, жоғарыдағы нәтиже бойынша.

Жинақталу теоремасы негізінде,

\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1
\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots

Дереккөздер[өңдеу]

  1. "Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009
  2. Wallis Formula.
  3. Integrating Powers and Product of Sines and Cosines: Challenging Problems.