Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
φ
{\displaystyle \varphi }
синусының көбейтіндісіне тең:
|
c
|
=
|
a
|
|
b
|
sin
φ
{\displaystyle \left|\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \varphi }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
ортогональ ;
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
a
b
c
{\displaystyle \mathbf {abc} }
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
a
,
b
,
c
{\displaystyle \mathbf {a,b,c} }
Белгілеуі:
c
=
[
a
b
]
=
[
a
,
b
]
=
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {c} =\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=\mathbf {a} \times \mathbf {b} }
Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — У. Гамильтон .[ 1]
Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең. 2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × b векторына және a -ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді. Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
Векторлық көбейтінді
[
a
b
]
{\displaystyle [\mathbf {ab} ]}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
параллелограммның
S
{\displaystyle S}
Егер
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
бірлік вектор болса, ал
a
,
b
,
e
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {e} }
S
{\displaystyle S}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
[
a
,
b
]
=
S
e
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=S\,\mathbf {e} }
Егер
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
π
{\displaystyle \pi }
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
π
{\displaystyle \pi }
e
c
g
{\displaystyle \mathbf {ecg} }
π
{\displaystyle \pi }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
[
a
,
c
]
=
P
r
e
a
|
c
|
g
.
{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]=\mathrm {Pr} _{\mathbf {e} }\,\mathbf {a} \left|\mathbf {c} \right|\mathbf {g} .}
Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a , b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.
V
=
|
a
⋅
(
b
×
c
)
|
.
{\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}
Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:
V
=
a
×
b
⋅
c
=
a
⋅
b
×
c
.
{\displaystyle V=\mathbf {a\times b\cdot c} =\mathbf {a\cdot b\times c} \ .}
Өрнектері
Сипаттамасы
[
a
,
b
]
=
−
[
b
,
a
]
{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=-\left[\mathbf {b} ,\mathbf {a} \right]}
Антикоммутативтілік қасиеті
[
(
α
a
)
,
b
]
=
[
a
,
(
α
b
)
]
=
α
[
a
,
b
]
{\displaystyle \left[\left(\alpha \mathbf {a} \right),\;\mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\left(\alpha \mathbf {b} \right)\right]=\alpha \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]}
скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиеті
[
(
a
+
b
)
,
c
]
=
[
a
,
c
]
+
[
b
,
c
]
{\displaystyle \left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right),\;\mathbf {c} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]+\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right]}
қосу бойынша дистрибутивтілік қасиеті
[
[
a
,
b
]
,
c
]
+
[
[
b
,
c
]
,
a
]
+
[
[
c
,
a
]
,
b
]
=
0
{\displaystyle \left[\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right],\;\mathbf {c} \right]+\left[\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right],\;\mathbf {a} \right]+\left[\left[\mathbf {c} ,\mathbf {a} \right],\;\mathbf {b} \right]=0}
тождество Якоби, выполняется в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
[
a
,
a
]
=
0
{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {a} \right]=\mathbf {0} }
[
a
,
[
b
,
c
]
]
=
b
(
a
,
c
)
−
c
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} ]\right]~=~\mathbf {b} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} )}
«БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігі
|
[
a
,
b
]
|
2
+
(
a
,
b
)
2
=
|
a
|
2
|
b
|
2
{\displaystyle |[\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ]|^{2}+(\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}}
кватерниондар нормасының
|
v
w
|
=
|
v
|
|
w
|
{\displaystyle |\mathbf {vw} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |}
(
[
a
,
b
]
,
c
)
=
(
a
,
[
b
,
c
]
)
{\displaystyle ([\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ],\,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\,[\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} ])}
бұл өрнек мәнін
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды,
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,\,b,\,c)}
⟨
a
,
b
,
c
⟩
{\displaystyle \langle a,\,b,\,c\rangle }
Егер екі
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте
a
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},\;a_{y},\;a_{z})}
b
=
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},\;b_{y},\;b_{z})}
ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі
[
a
,
b
]
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
,
a
z
b
x
−
a
x
b
z
,
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
.
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).}
Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:
[
a
,
b
]
=
|
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}
немесе
[
a
,
b
]
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
j
b
k
,
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}
мұндағы
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
Леви-Чивит белгісі .
Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда
[
a
,
b
]
=
(
a
z
b
y
−
a
y
b
z
,
a
x
b
z
−
a
z
b
x
,
a
y
b
x
−
a
x
b
y
)
.
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).}
Жаттау үшін дәл солай:
[
a
,
b
]
=
−
|
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}
немесе
[
a
,
b
]
i
=
−
∑
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
j
b
k
.
{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}
↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System — 1994. — Б. 32. — ISBN 0486679101 .
![{\displaystyle \mathbf {c} =\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=\mathbf {a} \times \mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6734b9e964a8af9a441e91beb4464e6074813d)
![{\displaystyle [\mathbf {ab} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4800766125fa752cf55da304c7418a8d29ba16)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=S\,\mathbf {e} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1de2fb12a67b7f9910b598e227d4e9a177942e)
![{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]=\mathrm {Pr} _{\mathbf {e} }\,\mathbf {a} \left|\mathbf {c} \right|\mathbf {g} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4beb3c6f22bc3c4e9be1f3871edc4b229cf0b82)
![{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=-\left[\mathbf {b} ,\mathbf {a} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a51acdc4dde356a269ea60a391f9857e7edaa31)
![{\displaystyle \left[\left(\alpha \mathbf {a} \right),\;\mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\left(\alpha \mathbf {b} \right)\right]=\alpha \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c157c68b58e497110a94d25f0b79c29dedaaaefa)
![{\displaystyle \left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right),\;\mathbf {c} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]+\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0177f3af876d93a2ec59014213b0ccd7aa778be)
![{\displaystyle \left[\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right],\;\mathbf {c} \right]+\left[\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right],\;\mathbf {a} \right]+\left[\left[\mathbf {c} ,\mathbf {a} \right],\;\mathbf {b} \right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c2e0429315bbf492e7a1681b51711706ee06ce)
![{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {a} \right]=\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b981636248645836c4a260b77741f0c1e252f0d9)
![{\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} ]\right]~=~\mathbf {b} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa672edea6c082fdde7251a4f77a28d114ca375)
![{\displaystyle |[\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ]|^{2}+(\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef59a4c85f5dc9d4096842265aa12e05445b4886)
![{\displaystyle ([\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ],\,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\,[\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18e845e8cad1c683223b660138628a31686b4d1)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f02028432d3751c3b0871472d1df2c796ef6f7)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a8fbd19282fccc86c63f8560329987e0a3439d)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbf80bb598d08105f687ef7d066465e15c97654)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe03b726302aa5d24f91975f54d3672ab8af8db)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce62361ca8b81116ca92cd8355e43b001029bbad)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04eb0ab95149b2f9095dda966f2cc474e2e7af27)