Векторлық көбейтінді

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.

векторы мен векторының кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын векторын айтады:

  • векторының ұзындығы және векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: ;
  • векторы әр және векторларына ортогональ ;
  • векторыны векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
  • кеңістігі үшін векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.

Белгілеуі:

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — У. Гамильтон.[1]

Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау

Қасиеттері[өңдеу]

Геометриялық қасиеттері[өңдеу]

1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.
2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × bвекторына және a-ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.
  • Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
  • Векторлық көбейтінді модулі ортақ нүктеге келтірілген және (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған параллелограммның ауданына тең
  • Егер — және векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал  — оң үштік,  — және векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:
  • Егер  — кез келген вектор,  — осы вектор жатқан кез келген жазықтық,  — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор векторына ортогональ,  — жазықтығына ортогональ бірлік вектор және үштік векторлары оң болса, онда жазықтығында жатқан кез келген векторы үшін келесі өрнек орындалады
  • Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

Алгебралық қасиеттері[өңдеу]

Өрнектері Сипаттамасы
Антикоммутативтілік қасиеті
скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиеті
қосу бойынша дистрибутивтілік қасиеті
тождество Якоби, выполняется в и нарушается в
«БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігі
кватерниондар нормасының мультипликативтілік жекеше түрі
бұл өрнек мәнін , , векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды, немесе деп белгілейді

Декарттық координаттардағы өрнектелулері[өңдеу]

Егер екі және векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:

немесе

мұндағы — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

Жаттау үшін дәл солай:

немесе

Дереккөздер[өңдеу]

  1. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System — 1994. — Б. 32. — ISBN 0486679101.