Квадраттық функция

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
f(x) = x^2 - x - 2\!

Квадраттық функция деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады f(x)=ax^2+bx+c~, мұндаa \neq 0~.

Графигі[өңдеу]

f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!
f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}}\!
f(x) = x^2 - bx |_{b=\{1,2,3,4\}}\!

Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.

Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: y=ax^{2}+bx+c. Парабола төбесінің координаттары: (x_{0}; y_{0}), x_{0}=-\frac{b}{2a},  y_0{}=-\frac{D}{4a}~.

x=-\frac{b}{2a}~ түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады.

Егер a<0 болса парабола төмен тармақталған болады, a>0 болғанда — жоғары тармақталған.

Квадраттық функцияның қасиеттері[өңдеу]

Квадраттық функцияның қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты болады. Дискриминант мына формула бойынша есептеледі D=b^2-4ac~

a>0~ болғандағы квадраттық функцияның қасиеттері (Осы түспен a<0 болғандағы қасиеттері көрсетілген.):

Қасиеті Дискриминант
D>0~ D=0~ D
Анықталу облысы D(f)=R~
a>0 болғандағы мәндер жиыны E(f)=[-\frac{D}{4a};+\mathcal{1})~
a<0 болғандағы мәндер жиыны E(f)=(-\mathcal{1};-\frac{D}{4a}]
Функцияның нөлдері x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D} {2a}~ x= -\frac {b} {2a}~ \empty~
Оң ( теріс) мәндер (-\mathcal{1};x_1)\cup(x_2;+\mathcal{1})~ -\frac{b}{2a}~ нүктелерден басқа барлық жерде Барлық жерде
Теріс ( оң ) мәндер (x_1;x_2)~ Теріс ( оң ) мәндері жоқ
Кему (өсу) аралығы, егер а>0 (-\mathcal{1};-\frac{b}{2a}]~
Өсу ( кему) аралығы, егер a>0 [-\frac{b}{2a};+\mathcal{1})~
Ең кіші ( ең үлкен ) мәні f(x)_{min}=-\frac{D}{4a}~

Практикада кездесетін жерлері[өңдеу]

  • Еркін құлап жатқан дене биіктігінің уақытқа тәуелділігі.
  • Фигура ауданының оның сызықтық өлшемдеріне тәуелділігі (мысалы, дөңгелек ауданының радиусқа тәуелділігі).

Жалпылау[өңдеу]

Көп айнымалы жағдайына жалпылау екінші ретті беттер болып табылады. Ондай теңдеудің жалпы түрін мына түрде жазуға болады:
 f(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} + \vec{b} \cdot \vec{x} + c
Бұл жерде: A - квадрат түрдегі матрица, \vec{b} - тұрақты вектор, c - константа. Бұл жағдайда да функцияның қасиеттері (бірінші ретті жағдайына ұқсас) теңдеудің негізгі коэфиценті A матрицасымен анықталады.

Тағы қараңыз[өңдеу]

Сілтемелер[өңдеу]