Квадраттық функция

$f(x) = x^2 - x - 2\!$

Квадраттық функция деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады $f(x)=ax^2+bx+c~$, мұнда$a \neq 0~$.

Графигі

$f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$

$f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

$f(x) = x^2 - bx |_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.

Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: $y=ax^{2}+bx+c$. Парабола төбесінің координаттары: $(x_{0}; y_{0}), x_{0}=-\frac{b}{2a}, y_0{}=-\frac{D}{4a}~$.

$x=-\frac{b}{2a}~$ түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады.

Егер a<0 болса парабола төмен тармақталған болады, a>0 болғанда — жоғары тармақталған.

Квадраттық функцияның қасиеттері

Квадраттық функцияның қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты болады. Дискриминант мына формула бойынша есептеледі $D=b^2-4ac~$

$a>0~$ болғандағы квадраттық функцияның қасиеттері (Осы түспен $a<0$ болғандағы қасиеттері көрсетілген.):

Қасиеті	Дискриминант
	$D>0~$	$D=0~$	$D$
Анықталу облысы	$D(f)=R~$
a>0 болғандағы мәндер жиыны	$E(f)=[-\frac{D}{4a};+\mathcal{1})~$
a<0 болғандағы мәндер жиыны	$E(f)=(-\mathcal{1};-\frac{D}{4a}]$
Функцияның нөлдері	$x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D} {2a}~$	$x= -\frac {b} {2a}~$	$\empty~$
Оң ( теріс) мәндер	$(-\mathcal{1};x_1)\cup(x_2;+\mathcal{1})~$	$-\frac{b}{2a}~$ нүктелерден басқа барлық жерде	Барлық жерде
Теріс ( оң ) мәндер	$(x_1;x_2)~$	Теріс ( оң ) мәндері жоқ
Кему (өсу) аралығы, егер а>0	$(-\mathcal{1};-\frac{b}{2a}]~$
Өсу ( кему) аралығы, егер a>0	$[-\frac{b}{2a};+\mathcal{1})~$
Ең кіші ( ең үлкен ) мәні	$f(x)_{min}=-\frac{D}{4a}~$

Практикада кездесетін жерлері

• Еркін құлап жатқан дене биіктігінің уақытқа тәуелділігі.
• Фигура ауданының оның сызықтық өлшемдеріне тәуелділігі (мысалы, дөңгелек ауданының радиусқа тәуелділігі).

Жалпылау

Көп айнымалы жағдайына жалпылау екінші ретті беттер болып табылады. Ондай теңдеудің жалпы түрін мына түрде жазуға болады:
$f(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} + \vec{b} \cdot \vec{x} + c$
Бұл жерде: $A$ - квадрат түрдегі матрица, $\vec{b}$ - тұрақты вектор, $c$ - константа. Бұл жағдайда да функцияның қасиеттері (бірінші ретті жағдайына ұқсас) теңдеудің негізгі коэфиценті $A$ матрицасымен анықталады.

Тағы қараңыз

• Квадрат теңдеулер
• Афиндік-квадраттық функция
• Математикалық функциялар тізімі

Сілтемелер

• Квадраттық функцияның қасиеттері
• Квадраттық функцияның қасиеттері