Лагранж функциясы

Лагранж функциясы - жалпыланған координаталар, жылдамдық және уақыт арқылы өрнектелген механикалық жүйенің сипаттамалық функциясы. Лагранж функциясын математика, физика және инженерия салаларында вариациялық есептерде және физикалық жүйелердің қозғалысын зерттеуде кеңінен қолданады. Лагранж функциясы (L) - кинетикалық энергия (T) мен потенциалдық энергияның (U) айырмасына тең: L = T - U

• ${mv^{2} \over 2}$ - Кинетикалық энергия;
• $mgh$ - Потенциалды энергия.

Классикалық механикада Лагранж функциясы жүйенің қозғалысын сипаттайтын Лагранж теңдеулерін шығару үшін қолданылады. Лагранж теңдеулері маятниктің, серіппенің немесе планеталардың қозғалысын терең зерттеуге мүмкіндік береді.

Суретте орбитадағы жазықтықта потенциалды энергиясының көмегімен Күнді айналып жатқан Жер планетасының бес Лагранж нүктелері көрсетілген. Бұл жердегі потенциал энергиясы гравитация энергиясы мен айналу энергиясының қосындысына тең. Суретте бейнеленген конструкция келесі формула арқылы құрастырылған.

$\psi (x,y,z)=(x-{q \over 1+q})^{2}+y^{2}+{2 \over (1+q){\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}+{2q \over (1+q){\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Жозеф-Луи Лагранж

Жозеф-Луи Лагранж (25 қаңтар 1736 – 10 сәуір 1813) - Сардинияда туған атақты итальян, кейінірек француз математигі. Ол математика, физика және астрономия салаларының дамуына зор үлесін қосты. Әсіресе, сандар теориясы, аспан механикасы мен математикалық анализдың бар салаларында жетістіктерге жетті. 1788 жылы Ньютон механикасын кейінгі заманауи дифференциалдық теңдеулер тілінде тұжырымдауға көмектескен "Méchanique Analytique" атты кітабы жарық көрді.

Лагранж функциясының қолданысы

Жоғарыда айтылып кеткендей, Лагранж функциясы математика мен физика салаларында кеңінен қолданылады. Күнделікті өмірде де оның қолданысын кездестіруге болады.

1. Логистика саласында тауарларды жеткізу үшін көліктердің маршрутын оптималды әрі оңай құру үшін керек. Осы жағдайда Лагранж фцнкциясы жол апаттары, жеткізу уақыты, транспорт сыйымдылығы сияқты шектеулерге назар аударуға көмектеседі.
2. Ресурстарды түрлі кедергі факторларды санай отырып дұрыс қолдануда көмектеседі. Мысалы, жұмыс істеу уақыты мен өндірісте керек болатын құрал-жабдықтарды тең бөле алу сияқты күнделікті проблемаларға шешім табуға көмектеседі.
3. Автомобильдің аспасы механиканың заңдарын ескеру арқылы жобаланады және Лагранж теңдеулері жүйенің қозғалысын есептеуді оңайлатады.
4. Серіктер мен ракеталардың тракеториясын жобалау үшін Лагранж теңдеулерін объектілердің массасы мен шектеулерін ескеру үшін қолданады.
5. Көптеген компаниялар өзінің табысын ресурстардың аздығына қарамастан арттыру жолдарын Лагранж әдістерін қолдана отырып табады.
6. Адамдар мен түрлі объектілердің қозғалысын модельдеу үшін функциянық қолданысын компьютер графикасында табуға болады.

Жалпы Лагранж теңдеулерінің қолданысын күнделікті өмірде ойлағаннан жиірек кездестіруге болады. Олар логистика, энергетика, робототехника және жасанды интеллект сияқты көптеген заманауи үдерістерде орын табады.

Кванттық механикадағы рөлі

Лагранж функциясы мен оның теңдеулері бізге таныс классикалық механикада ғана емес, оған қоса квантттық механикада болатын құбылыстарды, жүйелерді терең зерттеуде маңызды рөл атқарады.

1. $S=\int Ldt$ формуласы арқылы жүйенің динамикасын, яғни траекториясының экстремумдарын - максимум мен минимумын - анықтауға болады.
2. Американдық физик Ричард Фейнман кванттық механикада Лагранж функциясын тиімді қолдану жолын тапты - сингулярлық лагранждарға арналған Фейнман интегралы. Бұл комбинация арқылы кванттық бөлшектің - кванттар мен фотондардың - қозғалысы кезінде оның барлық қозғалу вариацияларын ескеруге мүмкіндік береді. $\psi =\int e^{iS/h}\operatorname {D} \!x(t)$, мұндағы S - жол, h - Планк тұрақтысы, Dx(t) - барлық мүмкін вариациялардың интегралы.
3. Лагранж бен Гамильтон-Якоби теңдеулерін қолдана отырып кванттық механиканың басты теңдеуін - Шредингер теңдеуін өрнектеуге болады.
4. Энергия, импульс пен моменттің сақталу заңдары тікелей Лагранж функциясының симметрия сақталу заңымен байланысты. Лагранж функциясының симметрия сақталу заңы Нëтер теоремасы арқылы сипатталады.
5. Электромагниттік өріс сияқты кванттық өрістердің динамикасын сипаттауға қолданылады.